Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial, a matriz-mudança de base I A A é a matriz identidade.

Passo 1

O problema pede para mostrarmos que a matriz de mudança de base de uma base A para a própria base A é a identidade.

Por simplicidade, vamos considerar o caso 2 × 2 com A = { e 1 , e 2 } . A matriz I A A é construída com os vetores de A escritos na base A .

O primeiro vetor de A é e 1 , que escrito na base A   é:

e 1 = 1 ⋅ e 1 + 0 ⋅ e 2 = 1 ,   0 A

Analogamente, para o segundo vetor,

e 2 = 0 ⋅ e 1 + 1 ⋅ e 2 = 0 ,   1 A

Passo 2

Assim, a matriz de mudança de base será

I A A = 1 0 0 1

Para dimensões maiores, o raciocínio é literalmente o mesmo só é necessário escrever mais linhas...

Resposta

Demonstração.

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