Se

[I]_B^A = [[[0,1,0],[1,1,0],[1,1,1]]]

determinar [v]_A , sabendo que:

[v]_B = [[[3],[-,2],[0]]]

Passo 1

A questão dá a matriz de mudança de base A para B e pede para acharmos as coordenadas de um vetor na base A dadas as suas coordenadas na base B . Para isso, temos que lembrar:

[v]_A = [I]_A^B [v]_B

O problema deu

[I]_B^A = [[[0,1,0],[1,1,0],[1,1,1]]]

Como queremos [I]_A^B , temos que inverter a matriz dada!

Passo 2

Para inverter a matriz, vamos usar o método da matriz expandida:

[[[0,1,0],[1,1,0],[1,1,1]],[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Primeiro vamos inverter a primeira linha com a segunda:

[[[1,1,0],[0,1,0],[1,1,1]],[[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]]]

Fazendo a primeira linha menos a segunda e substituindo na primeira:

[[[1,0,0],[0,1,0],[1,1,1]],[[-,1,1,0],[1,0,0],[0,0,1]]]

Agora, fazendo a terceira linha menos a primeira:

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,1,1]],[[-,1,1,0],[1,0,0],[1,-,1,1]]]

Por fim, fazendo a terceira menos a segunda:

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[-,1,1,0],[1,0,0],[0,-,1,1]]]

Assim,

[I]_A^B = [[[-,1,1,0],[1,0,0],[0,-,1,1]]]

Passo 3

Agora podemos fazer o produto de matrizes:

[v]_A = [I]_A^B [v]_B = [[[-,1,1,0],[1,0,0],[0,-,1,1]]] * [[[3],[-,2],[0]]]

Assim,

[v]_A = [[[-,5],[3],[2]]]

Resposta

[v]_A = [[[-,5],[3],[2]]]

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