Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 1e
A seguir são dados operadores lineares em e em . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
Passo 1
A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.
Para construir a matriz de transformação, temos que
Assim,
Note que
Portanto, admite inversa e é invertível.
Passo 2
Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de . Para isso, vamos usar o truque para as matrizes :
Cuidado: esse truque só vale para inverter matrizes !
Neste caso,
Note que a matriz inversa é igual a própria matriz. Assim, a transformação inversa será igual à transformação:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B . T :R 3 → R 3 ,T x , y , z = ( x -
Seja T :R 2 → R 2 um operador linear. Consideremos as bases A canônica e B = { 4 ,1 ,- 11 , - 3 } . Sabendo que T B = 3 5 1 2 determinar T A , utilizando a relação entre matrizes semelhantes.
Consideremos as seguintes bases do R 3 : A = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 eB = { 1 ,0 ,- 1 ,0 ,1 , - 1 ,- 1 ,1 ,1 } a) Determinar a matriz I B A .b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B
Seja o operador linear T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x + y , x - y ) .a) Determinar T B , sendo B = { 1 ,2 ,0 , - 1 } .b) Utilizar a matriz encontrada em (a) para calcular T v B sabendo que v = ( 4 ,2 )
Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B . T :R 2 → R 2 ,T x , y = ( x + 2 y