Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 5
No plano, uma rotação de radianos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos .
a) Mostrar que a transformação é um isomorfismo.
b) Determinar a inversa da transformação definida.
Passo 1
O problema fornece duas transformações sucessivas que agem sobre um vetor do . Temos que provar que a transformação resultante é um isomorfismo e determinar sua inversa.
Sabemos que para a composição de operadores, vale a regra do produto:
Assim, basta achar a matriz correspondente a cada uma das transformações e multplicá-las. Cuidado que a ordem é importante: representa a primeira transformação e a segunda.
Com, representa uma rotação com . Uma rotação genérica por um ângulo é representada pela matriz de rotação
Usando , obtemos a matriz:
Já a segunda transformação é uma reflexão em torno do eixo :
Nesse tipo de transformação, o sinal da coordenada é trocado. Note isso é dado pela matriz
Portanto,
Assim, fazendo o produto de matrizes:
Essa matriz representa toda a transformação dada pelo enunciado.
Passo 2
Vamos calcular o determinante dessa transformação:
Como o determinante é não nulo, a matriz admite inversa e a transformação é invertível! Isso é a mesma coisa que dizer que a transformação é um isomorfismo.
Para achar a inversa, vamos usar o truque das matrizes :
Assim, como vimos que , segue que
Olha que curioso: nesse caso, temos que .
Passo 3
Para achar a transformação inversa, basta fazer o produto da matriz por um vetor coluna genérico :
Portanto,