Mostre que a área do triângulo com vértices , para é igual à , em que

(Sugestão: Marque os pontos e . O volume do paralelepípedo determinado por é dado por Mas, a altura deste paralelepípedo é igual à 1. Assim, o seu volume é igual à área da base que é o paralelogramo determinado por . Observe que são paralelos ao plano .)

Beleza, temos que o volume do paralelepípedo é dado como o produto entre a base e a altura, da seguinte forma:

Uma vez que . Mas vamos lembrar de mais uma coisinha!

O volume de um paralelepípedo cuja base é um paralelogramo, pode ser calculado através do seguinte produto misto:

Os vetores são os seguintes:

Também temos que:

E

O produto misto toma então a forma;

Como estamos interessados no módulo, não importa se usamos ou , beleza? Se a matriz dentro do determinante acima puder ser identificada como (ou seja equivalente à) a matriz , nosso problema está resolvido! Vamos tentar fazer isso!

O determinante acima é tal que:

O determinante de resulta em:

Olha só que legal! O determinante da matriz é o mesmo do que o que calculamos no produto misto a menos de um sinal global negativo. Sendo assim, quando tirarmos o módulo não fará a menor diferença! Ou seja, o determinante da matriz (em módulo) é equivalente ao volume do paralelogramo, e assim, como , é equivalente a área do paralelogramo. Mas como isso mostra o que o enunciado nos pede??

Vamos comparar a área de um paralelogramo gerado pelos pontos com a área de um triângulo que tem estes pontos como vértice! Olha o esquema a seguir:

Os traços em azul indicam e os traços vermelhos . Portanto podemos garantir que:

A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!