Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 39b

Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W ,

Seguindo os seguintes passos:

a) Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial que

U × V × i → = U ⋅ i →   V - U ⋅ V   i →

U × V × j → = U ⋅ j →   V - U ⋅ V   j →

U × V × k → = U ⋅ k →   V - U ⋅ V   k →

Passo 1

Vamos tentar utilizar o resultado da última alternativa para fazer estas demonstrações! Lá nós demonstramos que:

U × i → × j → = U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j →

U × j → × k → = U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k →

U × k → × i → = U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i →

Vamos lembrar que V = v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → . E se lembrarmos da propriedade distributiva do produto vetorial temos:

V × A + B = V × A + V × B

Vamos usar isso para resolver, beleza?

Passo 2

Se substituirmos V em nossas expressões temos que:

U × v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → ) × i → = U ⋅ i →   V - U ⋅ V   i →

U × v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → ) × j → = U ⋅ j →   V - U ⋅ V   j →

U × ( v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → ) × k → = U ⋅ k →   V - U ⋅ V   k →

Podemos expandir os três lados esquerdos para obter:

U × v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → ) × i → = U × ( v 1   i → × i → + v 2   j → × i → + v 3   k → × i → )

U × v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → ) × j → = U × ( v 1   i → × j → + v 2   j → × j → + v 3   k → × j → )

U × ( v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → ) × k → = U × ( v 1   i → × k → + v 2   j → × k → + v 3   k → × k → )

Vamos seguir a partir daí! Precisamos de outra propriedade, sabe qual é?

Passo 3

O produto vetorial também obedece a propriedade A × α B = α ( A × B ) , então temos:

U × ( v 1   i → × i → + v 2   j → × i → + v 3   k → × i → ) = v 2 U × j → × i → + v 3 U × ( k → × i → )

U × ( v 1   i → × j → + v 2   j → × j → + v 3   k → × j → ) = v 1 U × i → × j → + v 3 U × ( k → × j → )

U × ( v 1   i → × k → + v 2   j → × k → + v 3   k → × k → ) = v 1 U × i → × k → + v 2 U × ( j → × k → )

Lembrando que i → × i → = j → × j → = k → × k → = 0 . Agora vamos aplicar o que demonstramos na alternativa anterior!

Passo 4

Substituindo os resultados, temos:

v 2 U × j → × i → + v 3 U × ( k → × i → ) = - v 2 U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j → + v 3 ( U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i → )

v 1 U × i → × j → + v 3 U × k → × j → = v 1 U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j → - v 3 ( U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k → )

v 1 U × i → × k → + v 2 U × j → × k → = - v 1 U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i → + v 2 ( U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k → )

Evidenciando alguns termos temos então o seguinte:

- v 2 U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j → + v 3 U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i → = U ⋅ i → v 2   j → + v 3   k → - U ⋅ v 2   j → + v 3   k →   i →

v 1 U ⋅ j →   i → - U ⋅ i →   j → - v 3 U ⋅ k →   j → - U ⋅ j →   k → = U ⋅ j → v 1   i → + v 3   k → - U ⋅ v 1   i → + v 3   k →   j →

- v 1 U ⋅ i →   k → - U ⋅ k →   i → + v 2 U ⋅ k →   j → - U ⋅ j → k → = U ⋅ k → v 1   i → + v 2   j → - U ⋅ v 1   i → + v 2   j →   k →

Quase lá né? Só mais uma coisinha!

Passo 5

Vamos somar e subtrair em cada equação o termo que falta para identificarmos V = v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → , desse jeitinho aqui:

U ⋅ i → v 1   i → - v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → - U ⋅ v 2   j → + v 3   k →   i → = U ⋅ i → V - U ⋅ V   i →

U ⋅ j → v 1   i → + v 2   j → - v 2   j → + v 3   k → - U ⋅ v 1   i → + v 3   k →   j → = U ⋅ j → V - U ⋅ V   j →

U ⋅ k → v 1   i → + v 2   j → + v 3   k → - v 3   k → - U ⋅ v 1   i → + v 2   j →   k → = U ⋅ k → V - U ⋅ V   k →

Está aí! Essa alternativa foi! Falta só a última! Bora lá!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

A B C D é um quadrado, M e N são pontos médios dos lados, A B → =a → e A D → =b → . Determine em função de a → e b → : o vetor I C → ;a área do triângulo x = C I N .
Construa uma base ortonormal positiva ( I → ,J → ,K → ) tal que J → seja paralelo a ( 2,1 , 1 ) e K → coplanar com ( 2,0 , 1 ) e ( 2,1 , 0 ) .Sendo v →=( 1 , - 3,4 ) e w →=2 I →- 2 J →+3 K → , calcule
Demonstre que se V e W são vetores quaisquer no espaço, então V × W ≤ V W .
Prove a identidade de Lagrange||V xx W||^2 = ||V||^2 ||W||^2 - (V * W)^2 .
O produto vetorial é associativo? Justifique sua resposta. (Sugestão: experimente com os vetores i → , j → , k → )