Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 39c

Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W ,

Seguindo os seguintes passos:

c) Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial.

Passo 1

Na alternativa anterior mostramos que

U × V × i → = U ⋅ i →   V - U ⋅ V   i →

U × V × j → = U ⋅ j →   V - U ⋅ V   j →

U × V × k → = U ⋅ k →   V - U ⋅ V   k →

Vamos tentar fazer um processo bastante parecido ao que fizemos na última alternativa usando W = w 1   i → + w 2   j → + w 3   k → . Saca só!

Passo 2

Temos de cara que

U × V × ( w 1   i → + w 2   j → + w 3   k → ) = w 1 U × V ×   i → + w 2 U × V ×   j → + w 3 U × ( V ×   k → )

Já podemos substituir o resultado da alternativa anterior, temos que:

w 1 U × V ×   i → + w 2 U × V ×   j → + w 3 U × V ×   k → = →

→ = w 1 ( U ⋅ i →   V - U ⋅ V   i → ) + w 2 ( U ⋅ j →   V - U ⋅ V   j → ) + w 3 ( U ⋅ k →   V - U ⋅ V   k → )

Vamos evidenciar alguns termos, temos que:

U ⋅ w 1   i → + w 2   j → + w 3   k → V - U ⋅ V w 1   i → + w 2   j → + w 3   k →   = U ⋅ W V - ( U ⋅ V ) W

Como queríamos demonstrar, a questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

a → = - 1,1 , 2eb → = x , y , 0 . Calcule x e y sabendo que a → ^ b → = 48 e que a → ^ b → forma ângulos iguais com (1,1,0) e (-1,0,1).
Sejam B= ( a → , b → , c → ) uma base de V , u →=( x , y , z ) B . Que condições devem satisfazer x , y e z para que ( a →+u → , b →+u → , c →+u → ) sejam também uma base de V ?
ABCD é um paralelogramo, | a | →= 2 e | b | →= 3 . Determine o coseno do menor ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo.(Sugestão: A C →= a → +b → ; D B →=. . . )
Dados os vetores u → , v → , w → e t → tais que u →∧v →= w →∧t → e u →∧w →= v →∧t → , prove que u → -t → e v → -w → são vetores l.d..
Verdadeiro ou falso?Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê contra-exemplo:se a →+b → +c →=0 , então a →∧b →= b →∧c → = c→∧a → ;se a →∧b →= b →∧a → , então a → e b → são paralelos; a →∧b →= a →∧c → imp