Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W ,

Seguindo os seguintes passos:

c) Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial.

Passo 1

Na alternativa anterior mostramos que

U × V × i → = U ⋅ i →   V - U ⋅ V   i →

U × V × j → = U ⋅ j →   V - U ⋅ V   j →

U × V × k → = U ⋅ k →   V - U ⋅ V   k →

Vamos tentar fazer um processo bastante parecido ao que fizemos na última alternativa usando W = w 1   i → + w 2   j → + w 3   k → . Saca só!

Passo 2

Temos de cara que

U × V × ( w 1   i → + w 2   j → + w 3   k → ) = w 1 U × V ×   i → + w 2 U × V ×   j → + w 3 U × ( V ×   k → )

Já podemos substituir o resultado da alternativa anterior, temos que:

w 1 U × V ×   i → + w 2 U × V ×   j → + w 3 U × V ×   k → = →

→ = w 1 ( U ⋅ i →   V - U ⋅ V   i → ) + w 2 ( U ⋅ j →   V - U ⋅ V   j → ) + w 3 ( U ⋅ k →   V - U ⋅ V   k → )

Vamos evidenciar alguns termos, temos que:

U ⋅ w 1   i → + w 2   j → + w 3   k → V - U ⋅ V w 1   i → + w 2   j → + w 3   k →   = U ⋅ W V - ( U ⋅ V ) W

Como queríamos demonstrar, a questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados