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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 15

Mostre que { p 1 , p 2 , p 3 } é uma base de P 2 e expresse p como uma combinação linear dos vetores da base.

p 1 = 1 + x + x 2 , p 2 = x + x 2 , p 3 = x 2 , p = 7 - x + 2 x 2

Passo 1

Desejamos mostrar que o conjunto { p 1 , p 2 , p 3 } é uma base para o espaço dos polinômios de até grau dois, para isso devemos lembrar quais as condições que devem ser satisfeitas para um determinado conjunto ser base e elas são

i O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.

i i O conjunto deve gerar todo o meu espaço.

OK, muito bonita toda essa teoria mas e na prática como fazemos? Pois bem, na prática são apenas duas continhas que devemos fazer, a primeira para mostrar que são independentes linearmente

c 1 ⋅ p 1 + c 2 ⋅ p 2 + c 3 ⋅ p 3 = 0       1

Onde c n são constantes, essa equação só pode admitir solução que trivial. Agora, para provar que esse conjunto gera nosso espaço vamos pegar o polinômio do segundo grau mais geral possível e mostrar que conseguimos escrevê-lo com a base que temos.

Passo 2

Pois bem, vamos então mostrar i utilizando 1 e fazendo

c 1 ⋅ p 1 + c 2 ⋅ p 2 + c 3 ⋅ p 3 = 0      

c 1 ⋅ ( 1 + x + x 2 ) + c 2 ⋅ ( x + x 2 ) + c 3 ⋅ ( x 2 ) = 0

x 2 ⋅ c 1 + c 2 + c 3 + x ⋅ c 1 + c 2 + c 1 = 0

Ficamos com o seguinte sistema linear para resolver

c 1 + c 2 + c 3 = 0 c 1 + c 2 = 0 c 1 = 0 → c 1 = c 2 = c 3 = 0  

Passo 3

Agora, vamos mostrar que nossa base gera esse espaço tomando um polinômio genérico p g que será

p g = a x 2 + b x + c

Assim, teremos

x 2 ⋅ c 1 + c 2 + c 3 + x ⋅ c 1 + c 2 + c 1 = a x 2 + b x + c

Então, vamos ter o seguinte sistema

c 1 + c 2 + c 3 = a c 1 + c 2 = b c 1 = c → c 1 = c ,   c 2 = b - c   ,   c 3 = a - b

Como conseguimos escrever o polinômio como combinação linear da nossa base, então, nossa base gera o espaço indicado.

Passo 4

Por fim, vamos escrever o polinômio p como combinação linear da nossa base. Então

p = 7 - x + 2 x 2 = 7 p 1 - 8 p 2 + 3 p 3

Basta observamos índice a índice de cada parcela do polinômio com a base que temos e o polinômio ao qual desejamos chegar e vamos verificar tal igualdade exposta acima. Ainda, podemos utilizar o sistema linear acima onde a = 2 ,   b = - 1   e   c = 7 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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