Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 18
Seja uma base de um espaço vetorial de dimensão . Mostre que se formarem um conjunto linearmente independente de vetores em , então os vetores de coordenadas formam um conjunto linearmente independente em e reprocamente.
Passo 1
Primeiramente vamos observar que se e são vetores em e e são escalares, então
Isto decorre da definição de vetores de coordenadas. Claramente, esse resultado se aplica a qualquer soma finita de vetores. Observe também que se
Agora, supondo que
Então
Por outro lado, se
Então
Portanto, os vetores são linearmente independentes em se e somente se os vetores de coordenadas são linearmente independentes em como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Sejam β 1 = 1,0 , 0,2 , β 2 = - 1,0 , 1,1 e β 3 = - 1 , - 1 , 0 , - 1 três bases ordenadas de R 2 .Ache: i ) I β 1 β 2 i i ) I β 2 β 3 i i i ) I β 1 β 3 i v ) I β 1 β 2⋅ I β 2 β 3 Se for possível, dê
Prove: qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem dimensão finita.
Sando a notação do Exercício 18, mostre que se os vetores v 1 → , … , v → r gerarem V , então os vetores de coordenadas v 1 → s , … , v → r s geram R n e reciprocamente.
Enuncie as duas partes do Teorema 4.5.2 em forma contrapositiva.
Em cada caso, enctontre uma base do subespaço de P 2 gerado pelos vetores dados: - 1 + x - 2 x 2 ,3 + 3 x + 6 x 2 , 9 1 + x ,x 2 , - 2 + 2 x 2 , - 3 x 1 + x - 3 x 2 , 2 + 2 x - 6 x 2 ,3 + 3 x - 9 x 2