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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 22

Se ‖ v ‖ = 2 e w = 3 , quais são os maiores e menores valores possíveis de ‖ v - w ‖ ? Interprete seu resultado geometricamente.

Passo 1

Fala aê! Tudo certo? Nesta questão precisamos verificar os valores de uma expressão algébrica e representá-la geometricamente. Então vamos lá?!

Primeiro, vamos supor um espaço vetorial. Nesse espaço, dado dois vetores v → e w → , temos um triangulo com lados: v → ,   w → e v → - w → . Nesse triangulo, sabemos que o comprimento de seus lados são os módulos ‖ v ‖ ,     w e ‖ v - w ‖ . Na figura a seguir é possível visualizar o que foi dito.

Desigualdades triangulares e desigualdades triangulares inversas são desigualdades fundamentais estendem a espaços vetoriais normatizados propriedades simples de triângulos: dado um triângulo com os lados ‖ v ‖ ,     w e ‖ v - w ‖ , onde qualquer lado é menor que a soma dos outros dois.

No espaço vetorial normatizado, uma das propriedades definidoras da norma é a desigualdade do triângulo. Logo, para ‖ v ‖ = 2 e w = 3 temos:

v - w ≤ v + w ≤ 5

v - w ≥ | v - w | ≥ 1

1 ≤ ‖ v - w ‖ ≤ 5

Portanto, o valor mínimo é 1 e o máximo é 5 .

Resposta

O valor mínimo é 1 e o máximo é 5 .

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