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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 25

Verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

(a) u = 3 ,   2 ,   v = ( 4 ,   - 1 )

(b) u = - 3 ,   1 ,   0 ,   v = ( 2 ,   - 1 ,   3 )

(c) u = 0 ,   2 ,   2 ,   1 ,   v = ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos resolver esse problema?

Temos que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é

‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | |

Então temos:

(a)

u ⋅ v = 3 4 + 2 - 1 = 10

u   v = 3 2 + 2 2 4 2 + ( - 1 ) 2 = 13 17 ≈ 14,866

Logo, ‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | | é válido.

Passo 2

(b)

u ⋅ v = - 3 2 + 1 - 1 + ( 0 ) ( 3 ) = 7

u   v = ( - 3 ) 2 + 1 2 + 0 2 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 = 10 14 ≈ 11,832

Logo, ‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | | é válido.

Passo 3

(c)

u ⋅ v = 0 1 + 2 1 + 2 1 + ( 1 ) ( 1 ) = 5

u   v = 0 2 + 2 2 + 2 2 + 1 2 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 9 4 = 6

Logo, ‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | | é válido.

Resposta

(a) 10 ≤ 14,866

(b) 7 ≤ 11,832

(c) 5 ≤ 6

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