Mostre que a distância de um ponto P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) a um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 é d i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) .

Passo 1

Falaaa aeee, blz?

Vamos imaginar um ponto P_1 = (x_1 , y_1 , z_1) in pi . Podemos decompor o vetor vec P_1 P_0 em duas parcelas, uma na direção do vetor normal de pi , N = ( a , b , c ) e a outra perpendicular a ele.

Nós sabemos que a componente na direção do vetor normal é a projeção ortogonal de   vec P_1 P_o em N .

Passo 2

Portanto, a distância de P_0 a pi é igual a norma da projeção ortogonal

d i s t (P_0 , pi) = ‖p r o j_N ( vec P_1 P_0 )‖ = (|vec P_1 P_0 . N|)/(‖N‖) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e distantes duas unidades um do outro.
Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:a) P = 1 ,0 ,0 ,Q = ( 2 ,3 ,2 )
Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:b) P = 3 ,0 ,- 1 ,Q = ( - 1 ,- 2 ,3 )
Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:b) P = 2 ,1 ,5 ,Q = ( 1 ,1 ,1 )