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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 17

Mostre que a distância de um ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0 a um plano π : a x + b y + c z + d = 0 é d i s t P 0 , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2 .

Passo 1

Falaaa aeee, blz?

Vamos imaginar um ponto P 1 = x 1 , y 1 , z 1 ∈ π . Podemos decompor o vetor P 1 P 0 →   em duas parcelas, uma na direção do vetor normal de π ,   N = ( a , b , c ) e a outra perpendicular a ele.

Nós sabemos que a componente na direção do vetor normal é a projeção ortogonal de   P 1 P o → em N .

Passo 2

Portanto, a distância de P 0 a π é igual a norma da projeção ortogonal

d i s t P 0 , π = p r o j N ( P 1 P 0 → ) = P 1 P 0 → . N N =   a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2 .  

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e distantes duas unidades um do outro.
Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:a) P = 1 ,0 ,0 ,Q = ( 2 ,3 ,2 )
Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:b) P = 3 ,0 ,- 1 ,Q = ( - 1 ,- 2 ,3 )
Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:b) P = 2 ,1 ,5 ,Q = ( 1 ,1 ,1 )