Mostre que a distância de um ponto P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) a um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 é d i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) .

Passo 1

Falaaa aeee, blz?

Vamos imaginar um ponto P_1 = (x_1 , y_1 , z_1) in pi . Podemos decompor o vetor vec P_1 P_0 em duas parcelas, uma na direção do vetor normal de pi , N = ( a , b , c ) e a outra perpendicular a ele.

Nós sabemos que a componente na direção do vetor normal é a projeção ortogonal de   vec P_1 P_o em N .

Passo 2

Portanto, a distância de P_0 a pi é igual a norma da projeção ortogonal

d i s t (P_0 , pi) = ‖p r o j_N ( vec P_1 P_0 )‖ = (|vec P_1 P_0 . N|)/(‖N‖) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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