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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 26.Problemas - Ex. 4

Mostre que se a equação A x ²   +   B y ² +   C z ²   +   D x y   +   E x z   +   F y z   +   G x   +   H y   +   I z   +   J   =   0 representa uma esfera então A   =   B   =   C   ≠ 0   e   D   =   E   =   F   =   0 . E reciprocamente, se estas condições são cumpridas, a equação dada representa uma esfera, um ponto ou o conjunto vazio.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Seja A   ( a ,   b ,   c ) um ponto fixo no espaço, r um número real positivo e P   ( x ,   y ,   z   ) um ponto móvel tal que A P   =   r seja uma constante.

P A   =   r

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos

( A P ) ²     =   r ²

  ( x   -   a ) ²   +   (   y   -   b ) ²   +   (   z   -   c ) ²     =   r ² (Usando a fórmula da distância)

Esta é a equação de uma esfera com centro A   ( a ,   b ,   c ) e raio r .

Expandindo teremos:

( x   -   a ) ²   +   (   y   -   b ) ²   +   (   z   -   c ) ²     =   r ²

x 2 - 2 a x + a 2 2 + y 2 - 2 b y + b 2 + z 2 2 - 2 c z + c 2 = r ²

Comparando com a equação dada no problemas, podemos ver que:

A x ²   +   B y ² +   C z ² +   G x   +   H y   +   I z   +   J   =   0

D   =   E   =   F   =   0

Temos uma equação da esfera.

Até aí tranquilo?

Passo 2

Para a equação:

A x ²   +   B y ² +   C z ²   +   D x y   +   E x z   +   F y z   +   G x   +   H y   +   I z   +   J   =   0

Aplicando a condição:

A   =   B   =   C   ≠ 0 e D   =   E   =   F   =   0

A x 2 +   G x   +   A y 2 +   H y +   A z 2 +   I z - =   - J

Temos uma equação característica da formação de um conjunto vazio

Passo 3

Sendo a equação:

A x ²   +   B y ² +   C z ²   +   D x y   +   E x z   +   F y z   +   G x   +   H y   +   I z   +   J   =   0

Aplicando a condição:

A   =   B   =   C   ≠ 0 e D   =   E   =   F   =   0 e fazendo x , y , z   = 0

A x 2 +   +   A y 2 +   A z 2 =   - J

A ( x 2 +   y 2 +   z 2 ) =   - J

( x 2 +   y 2 +   z 2 ) =   - J A

Caracterizando como ponto no álgebra Hermitiana

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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