Dada a transformação linear invertível T : R² → R² , sejam u, v vetores unitários ortogonais tais que o sentido da rotação de u para v seja positivo. Submeta o par ( u ,v ) a um processo contínuo de rotação, no sentido positivo, mantendo sempre u⊥v , até u ocupar o lugar de v (e v o lugar de - u ). Mostre que em algum momento tem-se T u ,T v =0 . (Argumento topológico para o Teorema 1 .)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 14

Dada a transformação linear invertível T : R² → R² , sejam u, v vetores unitários ortogonais tais que o sentido da rotação de para seja positivo. Submeta o par a um processo contínuo de rotação, no sentido positivo, mantendo sempre , até u ocupar o lugar de v (e o lugar de ). Mostre que em algum momento tem-se . (Argumento topológico para o Teorema .)

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Utilizando o argumento topológico sabemos que:

Onde é a matriz mudança de base, da base para a base . Como são duas bases ortonormais de , temos que é uma matriz ortogonal e logo posso escrever que:

Onde e a transposta da matriz . Assim,

Como é uma matriz ortogonal por hipótese e como o produto de matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal, concluímos que também será uma matriz ortogonal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 9-10, são dados uma matrizA com um autovalor dominante e uma sequência x 0 ,A x 0 , .. ,A 5 x 0 . Use as Fórmulas (9) e (10) para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associad

Em cada caso, use o método das potências com mudança de escala euclidiana para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado da matriz dada. Escolha seu vetor inicial e pare quando o erro p

Repita as instruções do Exercício 7 com:A = [[[2,1,0],[1,2,0],[0,0,10]]] ; x_0 = [[[1],[1],[1]]]

Considere as matrizes A = - 1 0 0 0ex 0 = a b Onde x 0 é um vetor unitário e a ≠ 0 . Mostre que, embora a matriz A seja simétrica e tenha um autovalor dominante, a sequência de potência (1) no Teorema

Repita o Exercício 12, mas dessa vez pare quando todas as entradas correspondentes em duas aproximações sucessivas de autovalores diferirem por menos de 0,01 em valor absoluto.