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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 14

Dada a transformação linear invertível T : R² → R² , sejam u, v vetores unitários ortogonais tais que o sentido da rotação de u para v seja positivo. Submeta o par ( u ,   v ) a um processo contínuo de rotação, no sentido positivo, mantendo sempre u   ⊥   v , até u ocupar o lugar de v (e v o lugar de - u ). Mostre que em algum momento tem-se < T u ,   T v >   =   0 . (Argumento topológico para o Teorema 1 .)

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Utilizando o argumento topológico   1 sabemos que:

[ T ] β =   P - 1 [ T ] α P

Onde P é a matriz mudança de base, da base β para a base α . Como α   e   β são duas bases ortonormais de R n , temos que P é uma matriz ortogonal e logo posso escrever que:

P - 1 = P t

Onde P t e a transposta da matriz P . Assim,

[ T ] β =   P - 1 [ T ] α P

Como [ T ] α é uma matriz ortogonal por hipótese e como o produto de matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal, concluímos que [ T ] β também será uma matriz ortogonal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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