Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole

1. Os focos são e e a excentricidade, .
2. Os vértices são e e a excentricidade, .
3. A excentricidade é , e as assíntotas têm equações e .
4. As extremidades do eixo conjugados são e , e a excentricidade é .
5. As assíntotas têm equações e , e a excentricidade é .

(b)Nesse caso, os focos estão sob o eixo (já que os focos estão alinhados com os vértices). Temos:

Como

Além disso, . Assim, a equação será:

(c)Considere a hipérbole

Quando (ou seja, é muito grande), , de modo que . Assim,

Note que também poderíamos ter a hipérbole

Então temos que considerar os dois casos.

1. Caso 1: a equação da assíntota é . Assim:

Como , o que é impossível.

2. Caso 2: a equação da assíntota é . Assim,

Como o que é falso.

Portanto, como nenhum caso deu certo, segue que não existe tal hipérbole.

(d)Note que a hipérbole dada não pode existir, pois para uma hipérbole

No exercício nos foi dado que .

(e)Do item (c), sabemos que ou são as equações das assíntotas.

1. Caso 1: a equação da assíntota é . Assim,

Como

o que é falso.

2. Caso 2: a equação da assíntota é . Assim,

Como

que é verdadeiro para todo real. Assim, temos uma infinidade de hipérboles satisfazendo o enunciado, todas do tipo

com .