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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 43

Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole

  1. Os focos são - 13 ,   0 e 13,0 e a excentricidade, 13 / 12 .
  2. Os vértices são 0 ,   - 4 e 0 ,   4 e a excentricidade, 2 .
  3. A excentricidade é 2 , e as assíntotas têm equações y = 2 x e y = - 2 x .
  4. As extremidades do eixo conjugados são - 2,0 e 2,0   , e a excentricidade é 2 / 5 .
  5. As assíntotas têm equações y = x / 3 e y = - x / 3 , e a excentricidade é 2 .

Passo 1

(a)Nesse caso,

c = 13

Como

e = c a = 13 12 ⟹ a = 12

Sabemos que a 2 + b 2 = c 2 ∴ 12 2 + b 2 = 13 2 ⟹ b 2 = 25 . Logo, a equação será:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

∴

x 2 144 - y 2 25 = 1

Passo 2

(b)Nesse caso, os focos estão sob o eixo O y (já que os focos estão alinhados com os vértices). Temos:

a = 4

Como

e = c a ∴ 2 = c 4 ⟹ c = 4 2

Além disso, a 2 + b 2 = c 2 ∴ 16 + b 2 = 32 ∴ b = 4 . Assim, a equação será:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

⟹

y 2 16 - x 2 16 = 1

Passo 3

(c)Considere a hipérbole

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ⟹ y 2 b 2 = x 2 a 2 - 1

Quando x → ∞ (ou seja, x é muito grande), x 2 a 2 ≫ 1 , de modo que x 2 a 2 - 1 ≈ x 2 / a 2 . Assim,

y 2 b 2 = x 2 a 2 ⟹ y = ± b a x

Note que também poderíamos ter a hipérbole

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 ⟹ y = ± a b x

Então temos que considerar os dois casos.

  1. Caso 1: a equação da assíntota é y = ± b a x . Assim:

    2. e = 2 = c a ⟹ c = 2 a b a = 2 ⟹ b = 2 a

    Como a 2 + b 2 = c 2 ∴ a 2 + 4 a 2 = 4 a 2 ⟹ a = 0 , o que é impossível.

  2. Caso 2: a equação da assíntota é y = ± a b x . Assim,

e = 2 = c a ⟹ c = 2 a b a = 1 2 ⟹ b = 1 2 a

Como a 2 + b 2 = c 2 ∴ a 2 + 1 4 a 2 = 4 a 2 ⟹ 5 4 a 2 = 4 a 2 o que é falso.

Portanto, como nenhum caso deu certo, segue que não existe tal hipérbole.

Passo 4

(d)Note que a hipérbole dada não pode existir, pois para uma hipérbole

e > 1

No exercício nos foi dado que e = 2 / 5 < 1 .

Passo 5

(e)Do item (c), sabemos que y = ± b a x ou y = ± a b x são as equações das assíntotas.

  1. Caso 1: a equação da assíntota é y = ± b a x . Assim,

    2. e = 2 = c a ⟹ c = 2 a b a = 1 3 ⟹ b = a 3

    Como

    a 2 + b 2 = c 2 ∴ a 2 + a 2 3 = 4 a 2 ⟹ 4 a 2 3 = 4 a 2

    o que é falso.

  2. Caso 2: a equação da assíntota é y = ± a b x . Assim,

e = 2 = c a ⟹ c = 2 a b a = 3 ⟹ b = 3 a

Como

a 2 + b 2 = c 2 ∴ a 2 + 3 a 2 = 4 a 2 ⟹ 4 a 2 = 4 a 2

que é verdadeiro para todo a real. Assim, temos uma infinidade de hipérboles satisfazendo o enunciado, todas do tipo

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

∴

y 2 a 2 - x 2 3 a 2 = 1

com a ≠ 0 .

Resposta

(a) x 2 144 - y 2 25 = 1

(b) y 2 16 - x 2 16 = 1

(c) Não existe.

(d) Não existe.

(e) y 2 a 2 - x 2 3 a 2 = 1

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