Dê as equações da elipse, parábola e hipérbole “centradas” em um ponto o plano e com eixos paralelos aos eixos coordenados. Encontre também os seus focos, diretrizes e excentricidade.

Vamos começar para a elipse e depois seguir um processo análogo para as outras cônicas. Como vimos no exercício 2, o centro de uma cônica é ditado de acordo com o termo quadrático. Para a elipse centrada em , por exemplo, temos (na forma canônica):

Agora vamos para as retas diretrizes da elipse que temos. No caso de uma elipse centrada na origem com seu eixo maior no eixo , suas retas diretrizes serão dadas por:

A diferença é que agora temos uma translação que precisamos considerar igualmente para essas retas diretrizes. Como estamos considerando as retas diretrizes em , vamos acrescer em cada uma dessas retas o termo referente à translação da elipse.

Agora vamos tratar dos pontos focais da elipse. Acontecerá um processo parecido ao que aconteceu com as retas diretrizes, porém agora vamos considerar a translação de ambos os eixos. Em uma elipse centrada na origem, temos os focos:

Agora vamos transladar eles junto com a elipse! Tanto em quanto em :

A excentricidade permanecerá inalterada! Pois a excentricidade está relacionada às dimensões da cônica. A excentricidade não fala nada sobre a posição da cônica!