Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.7.2 - Ex. 3
Dê as equações da elipse, parábola e hipérbole “centradas” em um ponto o plano e com eixos paralelos aos eixos coordenados. Encontre também os seus focos, diretrizes e excentricidade.
Passo 1
Vamos começar para a elipse e depois seguir um processo análogo para as outras cônicas. Como vimos no exercício 2, o centro de uma cônica é ditado de acordo com o termo quadrático. Para a elipse centrada em , por exemplo, temos (na forma canônica):
Agora vamos para as retas diretrizes da elipse que temos. No caso de uma elipse centrada na origem com seu eixo maior no eixo , suas retas diretrizes serão dadas por:
A diferença é que agora temos uma translação que precisamos considerar igualmente para essas retas diretrizes. Como estamos considerando as retas diretrizes em , vamos acrescer em cada uma dessas retas o termo referente à translação da elipse.
Agora vamos tratar dos pontos focais da elipse. Acontecerá um processo parecido ao que aconteceu com as retas diretrizes, porém agora vamos considerar a translação de ambos os eixos. Em uma elipse centrada na origem, temos os focos:
Agora vamos transladar eles junto com a elipse! Tanto em quanto em :
A excentricidade permanecerá inalterada! Pois a excentricidade está relacionada às dimensões da cônica. A excentricidade não fala nada sobre a posição da cônica!
Passo 2
Vamos seguir passos exatamente análogos para a hipérbole:
A mesma translação acontece nas retas diretrizes!
Da mesma forma para os focos da hipérbole! Porém agora estamos considerando .
Repare que o não muda pelo mesmo motivo que a excentricidade não muda, ele depende apenas da forma da cônica e não de onde ela está no plano!
Passo 3
Vamos finalizar com a parábola, mas a essa altura você já pegou a ideia, né? A equação da parábola vai ficar igualzinha só transladada em e em :
A parábola é mais tranquilinha, não temos que nos preocupar com a excentricidade, temos um foco a menos e uma reta diretriz a menos para nos estressar. O mesmo que aconteceu para as outras duas cônicas vai acontecer na parábola também; seu foco será transladado junto com a parábola assim como a diretriz.
A diretriz será transladada:
E da mesma forma para o foco:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)