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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 19

Mostre que se p e q forem inteiros positivos, então as funções f x = cos ⁡ p x e g x = sen ⁡ q x são ortogonais em relação ao produto interno

f , g = ∫ 0 2 π f x g x d x

Passo 1

E aí? Bora resolver essa?

Vamos substituir as funções na integral:

f , g = ∫ 0 2 π cos ⁡ ( p x ) ∙ sen ⁡ ( q x )   d x

Podemos a relação trigonométrica:

cos ⁡ ( a ) sen ⁡ ( a ) = 1 2 sen ⁡ a - b + sen ⁡ ( a + b )

Agora vamos substituir na integral:

f , g = ∫ 0 2 π 1 2 sen ⁡ q x + p x + sen ⁡ ( q x - p x )   d x

Podemos tirar o 1 2 da integral, e quando temos uma subtração/adição dentro de uma integral podemos separar em duas integrais:

f , g = 1 2   ∫ 0 2 π sen ⁡ q x + p x   d x + ∫ 0 2 π sen ⁡ ( q x - p x )   d x

Bora resolver essa integral?

Passo 2

f , g = 1 2   ∫ 0 2 π sen ⁡ q x + p x   d x + ∫ 0 2 π sen ⁡ ( q x - p x )   d x

Vamos fazer por substituição, então:

u = q x + p x z = q x - p x

d u d x = q + p d z d x = q - p

d x = d u q + p d x = d z q - p

Subsituindo na integral:

f , g = 1 2   ∫ 0 2 π sen ⁡ z   1 q - p d z + ∫ 0 2 π sen ⁡ u   1 q + p d u +

Podemos tirar o 1 q + p e 1 q - p da integral:

f , g = 1 2   1 q - p ∫ 0 2 π sen ⁡ z   d z + 1 q + p ∫ 0 2 π sen ⁡ u   d u

Realizando as integrais temos:

f , g = 1 2   - 1 q - p cos ⁡ z - 1 q + p cos ⁡ ( u ) 0 2 π

Passo 3

Retornando para x :

f , g = 1 2   - 1 q - p cos ⁡ z - 1 q + p cos ⁡ ( u ) 0 2 π

Colcando o x em evidência:

f , g = 1 2   - 1 q - p cos ⁡ p + q x - 1 q + p cos ⁡ p - q x 0 2 π

Reescrevendo:

f , g = - 1 2   1 q - p cos ⁡ p + q x + 1 q + p cos ⁡ p - q x 0 2 π

Vamos usar a identidade trigonométrica:

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a ∙ cos ⁡ b ∓ sen ⁡ a ∙ sen ⁡ b  

Substituindo: f , g = - 1 2   1 q - p cos ⁡ p x ∙ cos ⁡ q x + sen ⁡ p x ∙ sen ⁡ q x + 1 q + p cos ⁡ p x ∙ cos ⁡ q x - sen ⁡ p x ∙ sen ⁡ q x 0 2 π

Substituindo os limites de integração:

f , g = - 1 2 1 q - p cos ⁡ p 2 π ∙ cos ⁡ q 2 π + sen ⁡ p 2 π ∙ sen ⁡ q 2 π + 1 q + p cos ⁡ p 2 π ∙ cos ⁡ q 2 π - sen ⁡ p 2 π ∙ sen ⁡ q 2 π - 1 q - p cos ⁡ 0 ∙ cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0 ∙ sen ⁡ 0 + 1 q + p cos ⁡ 0 ∙ cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 ∙ sen ⁡ 0

Temos que:

p   e   q : são números inteiros positivos, e que:

sen ⁡ ( n π ) = 0

f , g = - 1 2 1 q - p 1 + 0 + 1 q + p 1 - 0 - 1 q - p 1 + 0 + 1 q + p 1 - 0

f , g = - 1 2 1 q - p + 1 q + p - 1 q - p + 1 q + p

f , g = - 1 2 1 q - p + 1 q + p - 1 q - p - 1 q + p

f , g = 0

Logo cos ⁡ ( p x ) , sen ⁡ ( q x ) = 0 é ortogonal

Resposta

f , g = ∫ 0 2 π cos ⁡ ( p x ) ∙ sen ⁡ ( q x )   d x , portanto é ortogonal

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