24. Use a desiguladade de Cauchy-Schwarz para provar que, dados quaiquer valores reais de a , b e θ , vale

a cos ⁡ θ + b   s e n   θ 2 ≤ a 2 + b 2

Passo 1

Vamos definir dois vetores:

u = a , b

v = cos ⁡ θ ,   s e n   θ

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz:

u , v ≤ u v

Tem outra formula que podemos usar e que ainda vale, que é praticamente só elevar os dois lados ao quadrado:

u , v 2 ≤ u v 2

Passo 2

Fazendo o protudo interno:

u , v = a cos ⁡ θ + b s e n   θ

Calculando a norma de cada vetor:

u = a 2 + b 2

v = cos ⁡ θ 2 + s e n   θ 2

v = 1

v = 1

(que coisa linda, né...) Só substituir agora:

a cos ⁡ θ + b s e n   θ 2 ≤ a 2 + b 2 1 2

Então:

a cos ⁡ θ + b   s e n   θ 2 ≤ a 2 + b 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

a cos ⁡ θ + b   s e n   θ 2 ≤ a 2 + b 2

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