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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 18

Mostre que se p e q forem inteiros positivos distintos, então as funções f x = sen ⁡ p x e g x = sen ⁡ q x são ortogonais em relação ao produto interno

f , g = ∫ 0 2 π f x g x d x

Passo 1

E aí? Bora resolver essa?

Vamos substituir as funções na integral:

f , g = ∫ 0 2 π sen ⁡ ( p x ) ∙ sen ⁡ ( q x )   d x

Podemos a relação trigonométrica:

sen ⁡ ( a ) sen ⁡ ( a ) = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b )

Agora vamos substituir na integral:

f , g = ∫ 0 2 π 1 2 cos ⁡ p x - q x - cos ⁡ ( p x + q x )   d x

Podemos tirar o 1 2 da integral, e quando temos uma subtração/adição dentro de uma integral podemos separar em duas integrais:

f , g = 1 2   ∫ 0 2 π cos ⁡ p x - q x   d x - ∫ 0 2 π cos ⁡ p x + q x   d x

Bora resolver essa integral?

Passo 2

f , g = 1 2   ∫ 0 2 π cos ⁡ p x - q x   d x - ∫ 0 2 π cos ⁡ p x + q x   d x

Vamos fazer por substituição, então:

u = p x - q x z = p x + q x

d u d x = p - q d z d x = p + q

d x = d u p - q d x = d z p + q

Subsituindo na integral:

f , g = 1 2   ∫ 0 2 π cos ⁡ u   1 p - q d u - ∫ 0 2 π cos ⁡ z   1 p + q d z

Podemos tirar o 1 p - q e 1 p + q da integral:

f , g = 1 2   1 p - q ∫ 0 2 π cos ⁡ u   d u - 1 p + q ∫ 0 2 π cos ⁡ z   d z

Realizando as integrais temos:0

f , g = 1 2   1 p - q sen ⁡ ( u ) - 1 p + q sen ⁡ z 0 2 π

Passo 3

Retornando para x :

f , g = 1 2   1 p - q sen ⁡ ( p x - q x ) - 1 p + q sen ⁡ p x + q x 0 2 π

Colcando o x em evidência:

f , g = 1 2   1 p - q sen ⁡ p - q x - 1 p + q sen ⁡ p + q x 0 2 π

Temos que:

p   e   q : são números inteiros positivos, e que:

sen ⁡ ( n π ) = 0

Sendo n = 0,1 , 2,3 … para qualquer inteiro positivo então, substituindo os limites de integração:

f , g = 1 2   1 p - q sen ⁡ p - q 2 π - 1 p + q sen ⁡ p + q 2 π - 1 p - q sen ⁡ 0 - 1 p + q sen ⁡ 0

f , g = 1 2   1 p - q ∙ 0 - 1 p + q ∙ 0 -   1 p - q ∙ 0 - 1 p + q ∙ 0

f , g = 0

Logo sen ⁡ ( p x ) , sen ⁡ ( q x ) = 0 é ortogonal

Resposta

f , g = ∫ 0 2 π sen ⁡ ( p x ) ∙ sen ⁡ ( q x )   d x = 0 , portanto é ortogonal

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7. Repita o Exercício 6 com θ = π 3 .
10. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo x (olhando para baixo no eixo x positivo para a origem) pelo ângulo θ = 3 π 4 .
8. Se x ' y ' z ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo no eixo z positivo)
6. Se x ' y ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y no sentido anti-horário pelo ângulo θ = 3 π 4 .(a) Encontre as coordenadas x ' y ' do pon
17. Encontre a , b e c para que a matriz a 1 2 - 1 2 b 1 6 1 6 c 1 3 1 3 seja ortogonal. São únicos tais valores de a , b , e c