Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 11
Mostre que a função tem pontos críticos em e . Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que tem máximos relativos em e e um ponto de sela em .
Passo 1
Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho! Primeiro de tudo precisamos calcular as primeiras derivadas parciais da função . Vamos denotar a primeira derivada parcial de em relação a como e a primeira derivada parcial de em relação a como . Logo:
Agora vamos igualar ambas as equações à zero!
Então,
E também,
Então,
Substituindo (1) em (2), temos que quando , quando e quando . Portanto, existem pontos críticos para essa função e eles são , e .
Passo 2
Bom pra matar essa questão precisamos de outra coisa: calcular os autovalores das matrizes hessianas. Meu Deus... Oq é isso??? Vem comigo! A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função . Olha aí embaixo!
Portanto, a matriz Hessiana é:
Como todos os termos em z são nulos podemos reescrever da seguinte forma:
Portanto, a matriz hessiana para o ponto crítico é:
E para o ponto crítico :
E para o ponto crítico :
Passo 3
Para encontrarmos os autovalores, precisamos do polinômio característico para ambas as matrizes hessianas. Para :
Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:
Portanto, os autovalores da primeira matriz hessiana são:
Como um autovalor é positivo e o outro autovalor é negativo, temos que o ponto crítico é um ponto de sela! A primeira foi galera, vamos pra próxima matriz hessiana!
Passo 4
Para :
Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:
Portanto, os autovalores da segunda matriz hessiana são:
Como ambos os autovalores são negativos temos que o ponto crítico é um mínimo relativo! Como a matriz Hessiana é idêntica a matriz Hessiana , concluímos também que o ponto crítico é um mínimo relativo! Acabooooou!
Resposta
O ponto crítico é um ponto de sela e os pontos críticos e são mínimos relativos!