Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 6
Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição
e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.
Passo 1
Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho, primeiro vamos colocar a equação nesse formato aqui:
Onde:
e :
Na verdade cagamos pro porque quem vai nos ajudar a matar a questão é a matriz . Você pode estar se perguntando da onde eu tirei esse , então vou explicar:
Uma matriz 3x3 segue um modelo assim:
está associado à , que também podemos representar como o coeficiente de que é . Também temos que é o coeficiente de y² e o coeficiente de z². Então vamos começar a preencher nossa matriz:
Nossa matriz ainda está incompleta. Faltam os termos e. Beleza. Na nossa matriz acima temos vezes o termo (em e em ), então vamos pegar o que multiplica na nossa equação e dividir por 2! Logo teremos . Beleza, agora colocamos em e em :
Estamos quase terminando a matriz, você já deve ter sacado como resolve… Temos na nossa equação então vamos colocar em e em :
Pra finalizar, nem temos na nossa equação, então é só tacar 0 nisso:
Aí está nossa da onde saiu a matriz !!!
Passo 2
Bom pra matar essa questão precisamos de duas coisas: dos autovalores e dos autovetores da matriz A. Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:
Bora calcular esse negócio juntos!
Disso teremos que:
Beleza, agora, vamos distribuir esse negócio:
³
Opa, sabemos então que , , !
Passo 3
Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:
Portanto, para temos:
Vou chamar de . Beleza, se liga nisso aqui… Sabemos que as colunas da Matriz vão ser combinadas com os valores de , certo? Agora olha pra matriz A’... se a gente multiplicar a primeira coluna por -1, a segunda coluna por 1 e a terceira por 1 e depois somar todas essas linhas, concorda comigo que vamos zerar tudo? Isso é um jeito macetado de resolver esse tipo de problema! A dica que eu dou é você olha pra matriz e ver se enxerga uma forma fácil de zerar ela assim… Se não achar, é só fazer do método tradicional que esse não tem erro. Bom, aqui vimos que nosso autovetor será:
Para temos:
Vou chamar de de novo. Bom, na primeira coluna temos todos os 3 termos diferentes de 0, pra ela zerar não tem como somar nem subtrair outra linha dela… Portanto, para ela zerar, o termo . Já as outras duas é só fazer uma menos a outra, então teremos:
Para temos:
Vamos usar mais uma vez o macete pra ficar craque nesse negócio: olha bem essa matriz. Olha aí, se fizermos a primeira vezes 2 e somar as outras duas zeramos ela!!!! Então essa fica:
Passo 4
É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar todos! Então, normalizando o vetor , temos:
Normalizando o vetor, temos:
Normalizando o vetor , temos:
Portanto, o nosso máximo condicionado é (nosso maior autovalor) e ocorre quando e o nosso mínimo condicionado é (nosso menor autovalor) e ocorre quando !
Resposta
Máximo condicionado é 3 e ocorre quando (x, y) = Mínimo condicionado é 0 e ocorre quando (x,y) =