Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 14
Identifique o tipo de cônica representada pela equação girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine o ângulo de rotação.
Passo 1
Para encontrarmos o que desejamos, vamos proceder da seguinte forma:
Temos que a forma quadrática associada a é
Onde e .Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma
Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo
Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica
Cujas raízes são .
Passo 2
Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por
Na notação matricial fica sendo
Para o primeiro autovalor vamos obter o seguinte sistema
Façamos, então, as seguintes operações
Então temos o seguinte sistema
Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor
Passo 3
Procedendo da mesma forma para o segundo autovalor vamos obter o seguinte sistema
Façamos, então, as seguintes operações
Então temos o seguinte sistema
Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor
Passo 4
Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos
Procedendo de maneira igual para teremos
Portanto a matriz ortonormal será dada por
Passo 5
Agora, de acordo com o teorema e lembrando que as coordenadas da nossa cônica no sistema de coordenadas será
Que é uma equação de uma elipse.
Passo 6
Por fim, para encontrarmos o ângulo de rotação vamos tomar a seguinte equação
Dessa igualdade, tiramos que
Pronto, finalizado nosso exercício.