Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 1

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x² + y² = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

Passo 1

Podemos escrever essa equação de outra forma: a notação matricial. Se você não está lembrando o que é, vou te refrescar, é essa forma aí embaixo:

Foca no A, pois ela é a matriz que vai nos fazer matar essa questão, bom, temos que x é:

E como temos , vamos escrever A assim ó:

Sacou o padrão? O vem do e o vem do

Mas como que eu sei que a matriz A é escrita dessa forma??? Vem comigo que eu te explico!

Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de e de , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Isso quer dizer que e .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto , ou seja, porque nem tem na nossa equação.

Passo 2

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

Mas até parece que vamos calcular isso na mão, temos uma matriz diagonal, nesse caso os autovalores são os próprios termos da diagonal (ouvi um amém?).

Então, nesse caso:

Vale ressaltar que o primeiro autovalor sempre é o maior! Ou seja, é 5 porque ele é o maior no nosso caso.

Passo 3

Pronto, temos os autovalores, agora bora pro próximo passo. Quando a matriz é diagonal o autovetor associado ao primeiro autovalor, no nosso caso a , é igual a:

o autovetor associado ao segundo autovalor que, no nosso caso, é é igual a:

Passo 4

No teorema dos extremos condicionados temos que:

Pronto! Daí podemos concluir que nosso máximo condicionado é (que é o nosso primeiro autovetor, ou seja, nosso e vamos tê-lo quando cujo módulo é autovetor do , vale lembrar que colocamos esse porque eles são vetores unitários!E o nosso mínimo condicionado é -1 e ocorre quando .