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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 15

Identifique o tipo de cônica representada pela equação girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine o ângulo de rotação.

11 x 2 + 2 4 x y + 4 y 2 - 15 = 0

Passo 1

Para encontrarmos o que desejamos, vamos proceder da seguinte forma:

11 x 2 + 24 x y + 4 y 2 - 15 = 0 → 11 x 2 + 24 x y + 4 y 2 = 15

Temos que a forma quadrática associada a A é

Q a x = x T A x = 15

Onde A = 11 1 2 1 2 4 e x = x , y .Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 11 12 12 4 = det ⁡ λ - 11 - 1 2 - 1 2 λ - 4

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 1 5 λ - 100

Cujas raízes são λ 1 = 20   e   λ 2 = - 5 .

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 11 - 12 - 12 λ - 4 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 20 vamos obter o seguinte sistema

9 - 1 2 - 1 2 16 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

t r o c a r   L 1   c o m   L 2 ,     L 2 + 3 4 ⋅ L 1 → L 2 ,     - L 1 1 2 → L 1

→ 1 - 4 / 3 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - 4 / 3 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 - 4 x 2 3 = 0 → x 1 = 4 x 2 3

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

4 / 3 1 = 4 3

Passo 3

Procedendo da mesma forma para o segundo autovalor λ 2 = - 5 vamos obter o seguinte sistema

- 16 - 1 2 - 1 2 - 9 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

  L 2 - 3 4 ⋅ L 1 → L 2 ,     - L 1 16 → L 1

→ 1 3 / 4 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 3 / 4 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + 3 x 2 4 = 0 → x 1 = - 3 x 2 4

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 3 4 1 = - 3 4

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 3 2 + | 4 | 2 ⋅ 4 3 = 1 2 5 ⋅ 4 3 = 4 5 3 5

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 - 3 2 + | 4 | 2 ⋅ - 3 4 = - 3 5 4 5

Portanto a matriz ortonormal P será dada por

P = 4 5 - 3 5 3 5 4 5

Passo 5

Agora, de acordo com o teorema 3 e lembrando que x T A x = 15 as coordenadas da nossa cônica no sistema de coordenadas x ' y ' será

x ' y ' ⋅ 20 0 0 - 5 ⋅ x ' y ' = 15 → 20 x ' 2 - 5 y ' 2 = 15 → x ' 2 3 4 - y ' 2 3 = 1

Que é uma equação de uma Hipérbole.

Passo 6

Por fim, para encontrarmos o ângulo de rotação vamos tomar a seguinte equação

P = 4 5 - 3 5 3 5 4 5 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Dessa igualdade, tiramos que

cos ⁡ θ = 4 5     e     sin ⁡ θ = 3 5

→ tan ⁡ θ = 2 → θ ≈ 36.9 °

Pronto, finalizado nosso exercício.

Resposta

H i p é r b o l e   :   x ' 2 3 4 - y ' 2 3 = 1 ,   θ ≈ 36.9 °

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