Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 12
Mostre que a função tem pontos críticos em e .
Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que tem um máximo relativo em e um ponto de sela em .
Passo 1
Para encontrarmos os pontos críticos da nossa função vamos, primeiramente, calcular as derivadas parciais de primeira ordem da nossa função fazendo
Agora, para encontrarmos os pontos críticos vamos igualar nossas equações acima a obtendo assim
Ficamos, então, com um sistema de equações que vamos resolver substituindo em
Teremos como valores de correspondentes para esses valores de o seguinte
Logo nossos pontos críticos ficam sendo .
Passo 2
Vamos utilizar o método da matriz hessiana para mostrar que nossos pontos são pontos de máximo relativo e sela. Para isso vamos escrever nossa matriz Hessiana que é dada por
Vamos, agora, escrever todos os nossos pontos críticos na forma Hessiana como sendo
Passo 3
Agora, podemos encontrar os autovalores relacionados a cada um desses pontos através da equação característica e fazer afirmações sobre os mesmos. Assim, para o primeiro vamos ter
Como tivemos dois autovalores de sinais contrários nossa matriz é indefinida e, consequentemente o ponto relacionado a ela um ponto de sela. Procedendo da mesma forma para o segundo ponto vamos encontrar
Com isso, nossa matriz torna-se definida negativamente e isso implica que o nosso ponto em estudo será um ponto de máximo relativo como queríamos mostrar.