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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 16

Encontre, se houver, todos os pontos críticos de f e classifique-os como máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela.

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y

Passo 1

Primeiramente vamos calcular as primeiras derivadas parciais de f x , y fazendo

f x x , y = 3 x 2 - 3 ,     f y x , y = 3 y 2 - 3

Para encontrarmos os pontos críticos faremos f x   e   f y iguais a 0 . Assim, teremos as seguintes equações

f x = 0 → 3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1     i  

f y = 0 → 3 y 2 - 3 = 0 → y = ± 1   i i

Dessa forma, temos que os nossos pontos críticos são - 1 , - 1   e   1 , 1 .

Passo 2

Com isso, podemos montar nossa matriz Hessiana que será dada por

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 6 x 0 0 6 y

Sendo assim, podemos reescrever todos os pontos críticos na forma Hessiana como sendo

H 1 - 1 , - 1 = - 6 0 0 - 6           1

H 2 1 , 1 = 6 0 0 6       2

Passo 3

Agora, podemos encontrar os autovalores relacionados a cada um desses pontos através da equação característica det ⁡ λ I - H i = 0   e fazer afirmações sobre os mesmos. Assim, para o primeiro vamos ter

det ⁡ λ 0 0 λ - - 6 0 0 - 6 = 0 → λ 1 , 2 = - 6

Como tivemos dois autovalores negativos nossa matriz H 1 é definida negativamente e, consequentemente o ponto relacionado a ela é máximo relativo. Procedendo da mesma forma para o segundo ponto vamos encontrar

det ⁡ λ 0 0 λ - 6 0 0 6 = 0 → λ 1,2 = 6

Sendo assim, como todos os nossos autovalores são positivos nossa matriz H 2 é definida positivamente, logo nosso ponto 1,1 é um mínimo relativo.

Resposta

1,1 :     m í n i m o   r e l a t i v o

- 1 , - 1 : m á x i m o   r e l a t i v o

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