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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 19

a Mostre que as funções

f x , y = x 4 + y 4   e   g x , y = x 4 - y 4

Têm pontos críticos em 0,0 , mas que o teste da derivada segunda é inconclusivo nesse ponto.

b Dê um argumento que mostre que f tem um mínimo relativo em 0,0 e que g tem um ponto de sela em 0,0 .

Passo 1

Para avaliarmos os pontos críticos de uma função devemos calcular as suas derivadas parciais e, depois, igualá-las a 0 . Então, façamos isso para cada uma das funções obtendo

f x x , y = 4 x 3 ,     f y x , y = 4 y 3

g x x , y = 4 x 3 ,   g y x , y = - 4 y 3

Igualando as equações acima a 0 vamos obter

f x = 0 → 4 x 3 = 0 → x = 0

f y = 0 → 4 y 3 = 0 → y = 0

g x = 0 → 4 x 3 = 0 → x = 0

f y = 0 → - 4 y 3 = 0 → y = 0

Portanto, nosso ponto crítico será igual para cada uma das funções e dado por 0,0 .

Passo 2

Da nossa primeira função temos que f x , y = x 4 + y 4 ≥ 0     ,     ∀ x , y ∈ R 2 . Temos também que f 0,0 = 0 . Consequentemente temos que f x , y ≥ f 0,0 para todo par ordenado x , y com isso nós podemos concluir que nossa função f tem um mínimo relativo em 0,0 . Agora, para nossa segunda função vamos tomar ϵ > 0 , assim, temos

g ϵ , 0 = ϵ 4 > 0       e   g 0 , ϵ = - ϵ 2 < 0

Portanto, g   é negativo e positivo em toda a vizinhança de 0,0 e, além disso, temos g 0,0 = 0 . Sendo assim, temos um ponto de sela em 0,0 para nossa função g .

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o

b   D e m o n s t r a ç ã o

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