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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 13

Encontre, se houver, todos os pontos críticos de f e classifique-os como máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela.

f x , y = x 3 - 3 x y - y 3

Passo 1

Primeiramente vamos calcular as primeiras derivadas parciais de f x , y fazendo

f x x , y = 3 x 2 - 3 y ,     f y x , y = - 3 x - 3 y 2

Para encontrarmos os pontos críticos faremos f x   e   f y iguais a 0 . Assim, teremos as seguintes equações

f x = 0 → 3 x 2 - 3 y = 0 → y = x 2     i  

f y = 0 → - 3 x - 3 y 2 = 0 → x = - y 2   i i

Agora, temos um sistema bem fácil de se resolver substituindo i em i i ou vice-versa. Substituamos, então, i i em i e obteremos

y = - y 2 2 → y = y 4 → y = 1   o u   y = 0

Os resultados correspondentes para x nesse caso são: x = - 1   o u   x = 0 , respectivamente. Dessa forma, temos que os nossos pontos críticos são 0,0   e   - 1,1 .

Passo 2

Com isso, podemos montar nossa matriz Hessiana que será dada por

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 6 x - 3 - 3 - 6 y

Os autovalores de H 0,0 calculados como

H 0,0 = 0 - 3 - 3 0

São λ = ± 3 que como podemos ver tem sinais contrários e isso nos permite inferir que, portanto, f tem um ponto de sela em ( 0,0 ) .

Passo 3

Procedendo de maneira análoga para H - 1,1 vamos encontrar

H - 1,1 = - 6 - 3 - 3 - 6

Cujos autovalores são dados por λ 1 = - 3   e   λ 2 = - 9 , essa matriz apresenta os dois autovalores com sinais negativos o que implica dizer que temos um máximo relativo para f em - 1,1 .

Resposta

0,0 : p o n t o   d e   s e l a

- 1,1 : m á x i m o   r e l a t i v o

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