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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

Encontre, se houver, todos os pontos críticos de f e classifique-os como máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela.

f x , y = x 2 + 2 y 2 - x 2 y

Passo 1

Primeiramente vamos calcular as primeiras derivadas parciais de f x , y fazendo

f x x , y = 2 x - 2 x y ,     f y x , y = 4 y - x 2

Para encontrarmos os pontos críticos faremos f x   e   f y iguais a 0 . Assim, teremos as seguintes equações

f x = 0 → 2 x - 2 x y = 0 → x ⋅ 1 - y = 0 → x = 0   o u   y = 1     i  

f y = 0 → 4 y - x 2 = 0 → x 2 = 4 y   i i

Das equações acima podemos inferir os seguintes pontos:

x = 0 → y = 0

y = 1 → x = ± 2

Dessa forma, temos que os nossos pontos críticos são 0,0 ,   2,1   e   - 2 , 1 .

Passo 2

Com isso, podemos montar nossa matriz Hessiana que será dada por

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 2 - 2 y - 2 x - 2 x 4

Sendo assim, podemos reescrever todos os pontos críticos na forma Hessiana como sendo

H 1 0,0 = 2 0 0 4           1

H 2 2 , 1 = 0 - 4 - 4 4       2

H 3 - 2,1 = 0 4 4 4         3

Passo 3

Agora, podemos encontrar os autovalores relacionados a cada um desses pontos através da equação característica det ⁡ λ I - H i = 0   e fazer afirmações sobre os mesmos. Assim, para o primeiro vamos ter

det ⁡ λ 0 0 λ - 2 0 0 4 = 0 → λ 1 = 2 , λ 2 = 4

Como tivemos dois autovalores positivos nossa matriz H 1 é definida positivamente e, consequentemente o ponto relacionado a ela é mínimo relativo. Procedendo da mesma forma para o segundo ponto vamos encontrar

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 - 4 - 4 4 = 0 → λ 1 = 2 + 2 ⋅ 5   , λ 2 = 2 - 2 ⋅ 5

Como os nossos autovalores possuem sinais contrários nossa matriz H 2 não é definida, consequentemente, teremos que o ponto associado a ela é um ponto de sela. Por fim, vamos avaliar nossa última matriz, H 3 , da mesma maneira obtendo então

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 4 4 4 = 0 → λ 1 = 2 + 2 ⋅ 5   , λ 2 = 2 - 2 ⋅ 5

Da mesma forma que o anterior vamos ter um ponto de sela.

Resposta

0,0 :   m í n i m o   r e l a t i v o

2,1   e   - 2,1 : p o n t o s   d e   s e l a

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