Mostre que se B é uma matriz invertível, então A B - 1 = B - 1 A se, e somente se, A B = B A .

Passo 1

Vamos para uma resolução!!

Pelas propriedades matriciais e pelo que foi proposto no problema, sabemos que B é invertível se existe uma matriz A tal que

A B = B A =   I n

Em que I n é a matriz identidade.

Passo 2

Vamos, então, multiplicar a equação encontrada por B - 1 :

( A B ) B - 1 = ( B A ) B - 1 =   I n B - 1

A multiplicação de uma matriz qualquer pela matriz identidade resulta na própria matriz, logo:

( A B ) B - 1 = ( B A ) B - 1 =   B - 1

Passo 3

Nota-se que chegamos nas seguintes igualdades:

( A B ) B - 1 = B - 1

( B A ) B - 1 =   B - 1

Como foi dito, a multiplicação de uma matriz qualquer pela matriz identidade resulta na própria matriz, portanto, pelas igualdades encontradas, podemos inferir que:

A B = I n

E

B A = I n

Logo:

A B = B A

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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