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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.8 - Ex. 9

Determinar x , y , z de modo que a matriz

A = ([[1,0,0],[0,1 // sqrt(2),1 // sqrt(2)],[x,y,z]])

Seja ortogonal.

Passo 1

Deixa eu te dar uma dica de cara: uma matriz A será ortogonal se:

A^(- 1) = A^T

Podemos multiplicar às esquerda por A em ambos os lados da equação, e ficaremos com

A A^T = I

Então precisaremos multiplicar a matriz A com a sua transposta e igualar a matriz identidade para encontrar os valores de x , y , z .

Passo 2

Temos A = ([[1,0,0],[0,1 // sqrt(2),1 // sqrt(2)],[x,y,z]])

Então

A^T = ([[1,0,x],[0,1 // sqrt(2),y],[x,0,1 // sqrt(2),z]])

Multiplicando A A^T teremos

A A^T = ([[1,0,0],[0,1 // sqrt(2),1 // sqrt(2)],[x,y,z]]) ([[1,0,x],[0,1 // sqrt(2),y],[0,1 // sqrt(2),z]]) = ([[1,0,x],[0,1,(y)/(sqrt(2)),+,(z)/(sqrt(2))],[X,(y)/(sqrt(2)),+,(z)/(sqrt(2)),x^2,+,y^2,+,z^2]])

Agora basta igualarmos essa matriz com a identidade para encontrarmos os valores de x , y , z :

([[1,0,x],[0,1,(y)/(sqrt(2)),+,(z)/(sqrt(2))],[X,(y)/(sqrt(2)),+,(z)/(sqrt(2)),x^2,+,y^2,+,z^2]]) = ([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])

Com isso, precisaremos analisar as seguintes igualdades:

{[[x = 0],[(y)/(sqrt(2)) + (z)/(sqrt(2)) = 0],[x^2 + y^2 + z^2 = 1]])

Usando o fato de x = 0 em x^2 + y^2 + z^2 = 1 , temos

z = +- (1)/(sqrt(2))

e da segunda equação, temos

(y)/(sqrt(2)) + (z)/(sqrt(2)) = 0 ⟹ y = - z

Portanto, os valores de x , y , z são,

x = 0 , y = - z = (1)/(sqrt(2)) ou x = 0 , y = - z = - (1)/(sqrt(2))

Resposta

x = 0 , y = - z = (1)/(sqrt(2)) ou x = 0 , y = - z = - (1)/(sqrt(2))

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