Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 19
Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxm, com n
Passo 1
Primeiro, devemos saber que todo sistema homogêneo apresenta pelo menos a solução trivial, ou seja, um sistema homogêneo nunca será sem solução. Se temos um sistema AB = 0 com solução não trivial, isso implica que AB não é invertível. Vamos mostrar o porquê:
Seja A uma matriz invertível nxn.
Multiplicando pela inversa de A:
Por associatividade:
Passo 2
Pelas propriedades matriciais, sabemos que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, . Ou seja:
No entanto, a matriz identidade é um elemento neutro no produto de matrizes, assim:
Assim, encontramos que é a única solução do sistema AB = 0.
A solução desse problema pode ser escrita como:
Em que é a forma escalonada da matriz A e , como foi dito, é a solução do sistema.
Passo 3
Como A é uma matriz não quadrada, é impossível chegarmos em uma matriz identidade a partir das técnicas de escalonamento. Assim, AB = 0 teria mais de uma solução, então A não pode ser invertível e, por consequência, AB não é invertível.
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.