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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.8 - Ex. 4b

Resolver os seguintes sistemas de Cramer:

(B) {[[x + y + z = 2],[x - y + z = 0],[y + 2 z = 0]])

Passo 1

Antes de mais nada vamos reconhecer quem será a matriz A , X e B .

A = ([[1,1,1],[1,-,1,1],[0,1,2]]) , X = ([[x],[y],[z]]) e B = ([[2],[0],[0]])

Assim para encontrar os valores de x e y usaremos

X = A^(- 1) B

Beleza? Então para isso precisamos encontrar a matriz A^(- 1)

Passo 2

Para determinar a inversa da matriz A

([[1,1,1],[1,-,1,1],[0,1,2]],[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])

vamos fazer algumas operações. Iremos numerá-las aqui e em seguida colocar como ficará a matriz após cada operação.

Operação 1:

L_1 - L_2 -> L_2

([[1,1,1],[0,2,0],[0,1,2]],[[1,0,0],[1,-,1,0],[0,0,1]])

Operação 2:

- 2 L_3 + L_2 -> L_3

([[1,1,1],[0,2,0],[0,0,-,4]],[[1,0,0],[1,-,1,0],[1,-,1,-,2]])

Operação 3:

- 2 L_1 + L_2 -> L_1

([[-,2,0,-,2],[0,2,0],[0,0,-,4]],[[-,1,-,1,0],[1,-,1,0],[1,-,1,-,2]])

Operação 4:

- 2 L_1 + L_3 -> L_1

([[4,0,0],[0,2,0],[0,0,-,4]],[[3,1,-,2],[1,-,1,0],[1,-,1,-,2]])

Operação 5:

(1)/(4) L_1 -> L_1

(1)/(2) L_2 -> L_2

(- 1)/(4) L_3 -> L_3

([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[3 // 4,1 // 4,- 1 // 2],[1 // 2,- 1 // 2,0],[- 1 // 4,1 // 4,1 // 2]])

Assim encontramos

A^(- 1) = ([[3 // 4,1 // 4,- 1 // 2],[1 // 2,- 1 // 2,0],[- 1 // 4,1 // 4,1 // 2]])

Passo 3

Para encontrar os valores de x e y usaremos

X = A^(- 1) B

Ficará assim

([[x],[y],[z]]) = ([[3 // 4,1 // 4,- 1 // 2],[1 // 2,- 1 // 2,0],[- 1 // 4,1 // 4,1 // 2]]) ([[2],[0],[0]]) = ([[3 // 2],[1],[- 1 // 2]])

Logo,

x = 3 // 2 , y = 1 e z = - 1 // 2

Resposta

x = 3 // 2 , y = 1 e z = - 1 // 2

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