31 Mostre que não existem escalares c1, c2, c3 tais que

c 1 - 2 ,   9 ,   6 + c 2 - 3 ,   2 ,   1 + c 3 1 ,   7 ,   5 = 0 ,   5 ,   4

Passo 1

Vamos multiplicar esses escalares. Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

c 1 - 2 ,   9 ,   6 = - 2 c 1 ,   9 c 1 ,   6 c 1

c 2 - 3 ,   2 ,   1 = - 3 c 2 ,   2 c 2 ,   c 2

e

c 3 1 ,   7 ,   5 = c 3 ,   7 c 3 ,   5 c 3

Substituindo tudo na equação dada:

- 2 c 1 ,   9 c 1 ,   6 c 1 + - 3 c 2 ,   2 c 2 ,   c 2 + c 3 ,   7 c 3 ,   5 c 3 = 0 ,   5 ,   4

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

- 2 c 1 ,   9 c 1 ,   6 c 1 + - 3 c 2 ,   2 c 2 ,   c 2 + c 3 ,   7 c 3 ,   5 c 3 = 0 ,   5 ,   4

- 2 c 1 - 3 c 2 + c 3 ,   9 c 1 + 2 c 2 + 7 c 3 , 6 c 1 +   c 2 + 5 c 3 = 0 ,   5 ,   4

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

- 2 c 1 - 3 c 2 + c 3 = 0 9 c 1 + 2 c 2 + 7 c 3 = 5 6 c 1 +   c 2 + 5 c 3 = 4

Passo 3

Vamos resolver esse sistema escrevendo a matriz aumentada e escalonando ela:

- 2 - 3 1 9 2 7 6 1 5 0 5 4

Multiplicando a primeira linha por - 1 / 2 :

1 3 / 2 - 1 / 2 9 2 7 6 1 5 0 5 4

Somando - 9 vezez a primeira linha na segunda:

1 3 / 2 - 1 / 2 0 - 2 3 / 2 23 / 2 6 1 5 0 5 4

Somando - 6 vez a primeira linha na terceira:

1 3 / 2 - 1 / 2 0 - 23 / 2 23 / 2 0 - 8 8 0 5 4

Mutiplicando a segunda equação por - 2 / 23 :

1 3 / 2 - 1 / 2 0 1 - 1 0 - 8 8 0 - 10 / 23 4

Somando 8 vezes a segunda linha na terceira:

1 3 / 2 - 1 / 2 0 1 - 1 0 0 0 0 - 10 / 23 12 / 23

Perceba a equação que obtemos a partir da terceira linha:

0 ⋅ c 1 + 0 ⋅ c 2 + 0 ⋅ c 3 = 12 23

Ou seja

0 = 12 23

O que torna o sistema impossível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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