Enunciado

35 Prove as partes (a), (c) e (d) do Teorema 3.1.1.

Passo 1

A parte (a) do teorema diz que, se u e v são vetores em R n , então:

u + v = v + u

Vamos definir:

u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n

e

v = v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n - 1 ,   v n

Em que os termos dentro dos vetores pertencem aos números reais.

Vamos somar esses vetores:

u + v = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n - 1 ,   v n

Pela definição da soma de vetores obtemos:

u + v = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n - 1 + v n - 1 ,   u n + v n

Como os termos que estão dentro desses vetores são números que pertencem aos reais e nós sabemos que a soma é comutativa podemos reescrever esse vetor como:

u + v = v 1 + u 1 ,   v 2 + u 2 ,   … ,   v n - 1 + u n - 1 ,   v n + u n

Agora podemos reescrever esse vetor como a soma de dois vetores:

u + v = v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n - 1 ,   v n + u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n

Ou seja:

u + v = v + u

Passo 2

A parte (c) do teorema diz que, se u e v são vetores em R n , então:

u + 0 = 0 + v

Vamos definir:

u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n

Em que os termos dentro desse vetor pertencem aos números reais

e

0 = 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   0

0 é o vetor nulo com n entradas.

Vamos somar esses vetores:

u + 0 = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n + 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   0

Pela definição da soma de vetores obtemos:

u + 0 = u 1 + 0 ,   u 2 + 0 ,   … ,   u n - 1 + 0 ,   u n + 0

Como os termos que estão dentro desses vetores são números que pertencem aos reais e nós sabemos que a soma é comutativa podemos reescrever esse vetor como:

u + v = 0 + u 1 ,   0 + u 2 ,   … ,   0 + u n - 1 ,   0 + u n

Agora podemos reescrever esse vetor como a soma de dois vetores:

u + v = 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   0 + u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n

Ou seja:

u + 0 = 0 + u

Passo 3

A parte (d) do teorema diz que, se u é um vetor em R n , então:

u + - u = 0

Vamos definir:

u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n

Em que os termos dentro desse vetor pertencem aos números reais

e

0 = 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   0

0 é o vetor nulo com n entradas.

Pela definição 3 que vimos nesse capitulo a gente sabe que:

- u = - u 1 ,   - u 2 ,   … ,   - u n - 1 ,   - u n

Vamos somar esses vetores:

u + - u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n + - u 1 ,   - u 2 ,   … ,   - u n - 1 ,   - u n

Pela definição da soma de vetores obtemos:

u + - u = u 1 - u 1 ,   u 2 - u 2 ,   … ,   u n - 1 - u n - 1 ,   u n - u n

Como os termos que estão dentro desses vetores são números que pertencem aos reais e nós sabemos que essas somas são iguais a zero:

u + - u = 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   0

Ou seja:

u + - u = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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