Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 35
35 Prove as partes (a), (c) e (d) do Teorema 3.1.1.
Passo 1
A parte (a) do teorema diz que, se e são vetores em , então:
Vamos definir:
e
Em que os termos dentro dos vetores pertencem aos números reais.
Vamos somar esses vetores:
Pela definição da soma de vetores obtemos:
Como os termos que estão dentro desses vetores são números que pertencem aos reais e nós sabemos que a soma é comutativa podemos reescrever esse vetor como:
Agora podemos reescrever esse vetor como a soma de dois vetores:
Ou seja:
Passo 2
A parte (c) do teorema diz que, se e são vetores em , então:
Vamos definir:
Em que os termos dentro desse vetor pertencem aos números reais
e
0 é o vetor nulo com entradas.
Vamos somar esses vetores:
Pela definição da soma de vetores obtemos:
Como os termos que estão dentro desses vetores são números que pertencem aos reais e nós sabemos que a soma é comutativa podemos reescrever esse vetor como:
Agora podemos reescrever esse vetor como a soma de dois vetores:
Ou seja:
Passo 3
A parte (d) do teorema diz que, se é um vetor em , então:
Vamos definir:
Em que os termos dentro desse vetor pertencem aos números reais
e
0 é o vetor nulo com entradas.
Pela definição 3 que vimos nesse capitulo a gente sabe que:
Vamos somar esses vetores:
Pela definição da soma de vetores obtemos:
Como os termos que estão dentro desses vetores são números que pertencem aos reais e nós sabemos que essas somas são iguais a zero:
Ou seja:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)