1. Bom, se comuta com qualquer operador linear de , tomemos então que possui todos os autovalores distintos. Disso, seja a matriz diagonal obtida de após a mudança para a base dos autovetores, isto é:

Ou ainda:

Como e comutam, temos que:

Ou seja:

Multiplicando por à esquerda e por à direita, temos:

A ideia é provar que é diagonal, porque ai chegamos à conclusão que existe uma mudança de base que diagonaliza , de modo que ela é diagonalizável. Para simplificar:

E ainda:

E:

Fazendo as contas:

Comparando a primeira linha das matrizes:

Aqui usamos que os autovalores são distintos para concluir que as entradas de são nulas fora da diagonal principal.

Faça isso linha a linha e você vai concluir que somente a diagonal principal de pode ser não nula, isto é, é uma matriz diagonal.

Tá, e daí? E daí que provamos que existe uma mudança de base que faz a matriz virar diagonal, ou seja, ela é diagonalizável.

Passo 2

2. Bom, nessa questão vamos aproveitar o resultado do item a). Como? Simples, vamos escolher uma matriz diagonal onde as entradas da diagonal principal são todas distintas. Obviamente esta matriz é diagonalizável! Então, seja a matriz associada à transformação , logo:

Seja então a transformação diagonal:

Observe que fizermos a mesma conta que fizermos para provar que era diagonal, vamos chegar que também é diagonal! Logo: