Mostre que se V é ortogonal a W , então V é ortogonal a α W , para todo escalar α .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

Isso já deve ser o suficiente, vamos lá!

Passo 2

Se temos que V é ortogonal a W , portanto, temos que:

V ⋅ W = 0

pela definição (1) de ortogonalidade. E se tentarmos agora aplicar a definição para um vetor Z = α W , temos o seguinte:

V ⋅ Z = V ⋅ ( α W ) =   ?

Vamos relembrar algumas propriedades do produto escalar, belezinha?

Passo 3

Temos que o produto escalar obedece a propriedade de multiplicação por escalar, portanto, temos que:

X ⋅ ( α Y ) = α ( X ⋅ Y )

portanto, temos que

V ⋅ ( α W ) = α ( V ⋅ W ) = 0

Já que V é ortogonal a W . Sendo assim, também é ortogonal a α W . A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

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