Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 13
Mostre que os polinômios e geram o espaço dos polinômios de grau .
Passo 1
Confome vimos no exercício anterior, a dimensão do espaço dos polinômios de grau no máximo é . Logo, a dimensão do espaço dos polinômios de grau no máximo é , que é exatamente igual à quantidade de elementos do conjunto gerador proposto.
Passo 2
Vamos agora mostrar que o conjunto fornecido é LI, o que o configura como base e, portanto, conjunto gerador.
Para isso, vamos fazer uma combinação linear nula:
Organizando essa equação:
Pela identidade polinomial nula, devemos ter:
Além disso:
E por fim:
Passo 3
Do passo anterior concluímos que uma combinação nula implica necessariamente que os coeficientes sejam todos nulos, isto é, o conjunto fornecido é LI. Logo, ele é uma base para o subspaço.
Se ele é uma base, ele é um conjunto gerador.
Resposta
Demonstração.