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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 13

Mostre que os polinômios 1 - t 3 ,   1 - t 2 ,   1 - t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 .

Passo 1

Confome vimos no exercício anterior, a dimensão do espaço dos polinômios de grau no máximo n é n + 1 . Logo, a dimensão do espaço dos polinômios de grau no máximo 3 é 4 , que é exatamente igual à quantidade de elementos do conjunto gerador proposto.

Passo 2

Vamos agora mostrar que o conjunto fornecido é LI, o que o configura como base e, portanto, conjunto gerador.

Para isso, vamos fazer uma combinação linear nula:

a 1 - t 3 + b   1 - t 2 + c   1 - t + d = 0

Organizando essa equação:

- a t 3 + b t 2 - 2 b + c t + a + b + c + d = 0

Pela identidade polinomial nula, devemos ter:

a = b = 0

Além disso:

b + c = 0 ⇒ c = 0

E por fim:

a + b + c + d = 0 ⇒ d = 0

Passo 3

Do passo anterior concluímos que uma combinação nula implica necessariamente que os coeficientes sejam todos nulos, isto é, o conjunto fornecido é LI. Logo, ele é uma base para o subspaço.

Se ele é uma base, ele é um conjunto gerador.

Resposta

Demonstração.

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