1. Bom, para fazer a intersecção de dois conjuntos, devemos olhar para o que eles tem em comum, certo?

Então as coordenadas devem obeder ao seguinte sistema:

Da primeira e segunda equações:

Substituindo na terceira:

Então .

Os vetores da intersecção são da forma:

Em outras palavras, a interseção é o subspaço gerado pelo vetor:

Passo 2

2. Do item anterior fica tranquilo determinar a base certo? Basta colocar o em evidência:

Logo a base tem dimensão 1 e é dada pelo vetor acima quando fazemos .

Passo 3

3. Da definição, é formado pelos vetores que são expressos como soma dos vetores de e .

Para determinar esse subespaço, precisamos encontrar um vetor gerador. Concorda que é suficiente achar as bases separadas de e ? Pode até não ser uma base para , mas com certeza é um conjunto gerador.

Então vamos lá.

Passo 4

Base para :

Base para :

Da condição para :

Ai a gente substitui:

Então uma base para é .

Assim, podemos determinar como sendo:

Passo 5

4. Lembre-se que para ser soma direta, o único elemento de é o vetor nulo. Do item a) a gente vê que não é esse o caso, do que a segue que não é uma soma direta.

Passo 6

5. Para que isso seja verdade, devemos mostrar que o conjunto gerador tem dimensão 4, concorda? Nesse caso, ele formaria uma base para o .

Vamos verificar quantos vetores LI conseguimos tirar do conjunto gerador. Como fazemos isso? Isso mesmo, combinação linear nula:

Que gera o sistema:

Do sistema acima, o que a gente tira?

Dessa forma, nosso sitema fica:

Veja que, se pegarmos , podemos escrever como combinação linear dos outros dois vetores.

Ou seja, temos dois candidatos à base de :

Vemos então que a base tem no máximo dois elementos, de modo que não pode ser igual ao .