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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 22

  1. Mostre que 1 a 1 a 1 2 1 a 2 a 2 2 1 a 3 a 3 2 = ( a 2 - a 1 ) ( a 3 - a 1 ) ( a 3 - a 2 )
  2. Se a 1 ,   a 2 ,   … ,   a n são números, mostre por indução finita que

V n = 1 a 1 ⋯ a 1 n - 1 1 a 2 ⋯ a 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a n ⋯ a n n - 1 = ∏ i < j x j - x i

O símbolo à direita significa o produto de todos os termos x j - x i com i < j e i ,   j inteiros variando de 1   a   n .

Sugestão: Para efetuar facilmente a indução, multiplique cada coluna por a 1 e subtraia o mesmo da coluna imediatamente à direita, partindo do lado esquerdo, obtendo, então: V n = x n - x 1 … x 2 - x 1 V n - 1 . Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde.

Passo 1

  1. O item a já está resolvido na questão 13 dessa mesma sessão.

    2. Passo 2

  2. Como em toda questão que envolve indução, devemos testar o caso inicial. Vamos analisar n = 2 :

1 a 1 1 a 2 = ( a 2 - a 1 )

Logo, é verdadeiro. Suponha verdadeiro para n - 1 (Hipótese de indução).

Passo 2

Vamos analisar V n :

V n = 1 a 1 ⋯ a 1 n - 1 1 a 2 ⋯ a 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a n ⋯ a n n - 1

Vamos investigar 2 colunas consecutivas e executar o que foi sugerido. Sejam então as linhas k - 1 ,   e   k   :

c o l u n a   k - 1 : a i k - 2

c o l u n a   k : a i k - 1

Multiplicando a coluna k - 1 por a 1 e subtraindo na coluna k , temos:

a i k - 2 - a 1 a i k - 1 = a i k - 1 ( a i - a 1 )

Fazendo isso da DIREITA para a esquerda, temos:

V n = 1 a 1 - a 1 ⋯ a 1 n - 1 - a 1 a 1 n - 2 1 a 2 - a 1 ⋯ a 2 n - 1 - a 1 a 2 n - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a n - a 1 ⋯ a n n - 1 - a 1 a n n - 2 = 1 0 ⋯ 0 1 a 2 - a 1 ⋯ a 2 n - 2 ( a 2 - a 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 a n - a 1 ⋯ a n n - 2 ( a n - a 1 )

Aplicando Laplace à primeira linha do determinante, temos:

V n = a 2 - a 1 ⋯ a 2 n - 2 ( a 2 - a 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ a n - a 1 ⋯ a n n - 2 ( a n - a 1 )

Fatorando cada linha, temos:

V n = a 2 - a 1 a 3 - a 1 … a n - a 1 1 ⋯ a 2 n - 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ a n n - 2 = a 2 - a 1 a 3 - a 1 … a n - a 1 V n - 1

Ou seja:

V n = a 2 - a 1 a 3 - a 1 … a n - a 1 V n - 1

Pela hipótese de indução, temos que:

V n - 1 = a n - a 2 a n - a 3 … a n - a n - 1 … ( a 3 - a 2 )

Do que segue que:

V n = ( a n - a 1 ) a n - a 2 a n - a 3 … a n - a n - 1 … ( a 3 - a 2 ) ( a 3 - a 1 ) ( a 2 - a 1 )

Ou seja:

V n = ∏ i < j x j - x i

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

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Mostre que se A k = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.
Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A 2 = A, então det(A) = 1.
Mostre que se ∝ é um escalar e A é uma matriz n x n , então det ⁡ ∝ A =∝ n d e t ⁡ ( A )
Mostre que A ,n x n , é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Sejam A e P matrizesn x n , sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) .