Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 16
Seja o conjunto de todos os polinômios (de qualquer grau) com coeficientes reais. Existe uma base finita para esse espaço? Encontre uma “base” para e justifique então por que é conhecido como espaço de dimensão infinita.
Passo 1
Para responder a essa pergunta, uma boa técnica seria a redução ao absurdo. Suponha que exista uma base finita de dimensão . Podemos pegar o seguinte conjunto para representar todos os polinômios com grau no máximo :
Mas a pergunta que fica é: esse conjunto consegue representar um polinômio de grau maior que A resposta é clara: não.
Então teríamos que estar sempre aumentando o tamanho da base para atender a graus de polinômios maiores.
Passo 2
Como o expoente dos termos dos polinômios são números naturais e estes, por sua vez, são infinitos, então uma “base” para seria:
Onde a sequência acima segue com expoentes naturais.
Como não é possível definir um número finito de vetores para a base desse espaço, dizemos que ele possui dimensão infinita.
Resposta
Não.
“base”: .