Seja P o conjunto de todos os polinômios (de qualquer grau) com coeficientes reais. Existe uma base finita para esse espaço? Encontre uma “base” para P e justifique então por que P é conhecido como espaço de dimensão infinita.

Passo 1

Para responder a essa pergunta, uma boa técnica seria a redução ao absurdo. Suponha que exista uma base finita de dimensão n + 1 . Podemos pegar o seguinte conjunto para representar todos os polinômios com grau no máximo n :

{ 1 ,   x , x 2 , … , x n }

Mas a pergunta que fica é: esse conjunto consegue representar um polinômio de grau maior que n ? A resposta é clara: não.

Então teríamos que estar sempre aumentando o tamanho da base para atender a graus de polinômios maiores.

Passo 2

Como o expoente dos termos dos polinômios são números naturais e estes, por sua vez, são infinitos, então uma “base” para P seria:

1 , x , x 2 , … , x n , …

Onde a sequência acima segue com expoentes naturais.

Como não é possível definir um número finito de vetores para a base desse espaço, dizemos que ele possui dimensão infinita.

Resposta

Não.

“base”: { 1 , x , x 2 , … } .

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