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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24c

c) Se A e uma matriz tal A^2 = 0 , então A = 0? Justifique.

Passo 1

Primeiramente, desenvolvendo a primeira igualdade:

A^2 = A * A = 0

A^2 = [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] * [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] = 0

Passo 2

Agora, desenvolvendo o produto matricial:

[[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] * [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] = 0

[[[[[[[a_11,a_11,+,...,+,a_1 n,a_n 1,a_11,a_12,+,...,+,a_1 n,a_n 2]]],[[[a_21,a_11,+,...,+,a_2 n,a_n 1,a_21,a_12,+,...,+,a_2 n,a_n 2]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_11,a_1 n,+,...,+,a_1 n,a_n n],[a_21,a_1 n,+,...,+,a_2 n,a_n n]]],[[[,vdots,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_11,+,...,+,a_n n,a_n 1,a_n 1,a_12,+,...,+,a_n n,a_n 2]],cdots,a_n 1,a_1 n,+,...,+,a_n n,a_n n]]] = 0

Ou seja, cada somatório é igual a 0. No entanto, é possível que isso aconteça sem que todos os elementos da matriz sejam iguais a 0.

Passo 3

Para exemplificar o que foi dito, tomemos a matriz:

A = [[[0,0],[1,0]]]

A^2 = A * A = [[[0,0],[1,0]]] * [[[0,0],[1,0]]]

[[[0,0],[1,0]]] * [[[0,0],[1,0]]] = [[[0,*,0,+,0,*,1,0,*,0,+,0,*,0],[1,*,0,+,0,*,1,1,*,0,+,0,*,0]]]

[[[0,*,0,+,0,*,1,0,*,0,+,0,*,0],[1,*,0,+,0,*,1,1,*,0,+,0,*,0]]] = [[[0,0],[0,0]]]

A^2 = [[[0,0],[0,0]]] , para A != [[[0,0],[0,0]]] .

Resposta

Não necessariamente. É possível que A^2 = [[[0,0],[0,0]]] para uma matriz A != [[[0,0],[0,0]]] .

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