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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 12c

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).

(c) Γ : x = λ + 1 ,   y = λ - 1 ,   z = λ 2 + 1     0 ≤ λ ≤ 2 .

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo coordenado, certo?

Seja a curva dada:

Γ : x = λ + 1 ,   y = λ - 1 ,   z = λ 2 + 1 ⇒ Γ :   x - y = 2                                   x - 1 2 - z = - 1

Passo 2

A reta x = 0 y = 0 z = z   tem o vetor diretor r → = 0 ,   0 ,   1 e escolheremos o ponto C = ( 0 ,   0 ,   0 ) . Por 26-11, temos:

z = λ                                                   x 2 + y 2 + z 2 = μ 2

Passo 3

Agora, por 26-12 e 26-13, podemos montar o seguinte sistema:

u - v = 2                                     u - 1 2 - w = - 1 w = λ                                                   u 2 + v 2 + w 2 = μ 2 ⇒ u = 2 + v                                 u - 1 2 = - 1 + w w = λ                                                   u 2 + v 2 + w 2 = μ 2

                                                                                                    ⇒ u 2 + u - 2 2 + w 2 = μ 2

                                                                                                          ⇒ 2 u 2 - 2 u + 2 + w 2 = μ 2

                                                          ⇒ 2 w + w 2 = μ 2

                                                                    ⇒ 2 λ + λ 2 - μ 2 = 0

Passo 4

Substituindo as variáveis originais determinadas acima por 26-11 na equação obtida com o sistema, temos:

2 λ + λ 2 - μ 2 = 0

2 z + z 2 - x 2 + y 2 + z 2 = 0

2 z = x 2 + y 2

Portanto, encontramos a nossa equação livre de parâmetros:

2 z = x 2 + y 2

Resposta

2 z = x 2 + y 2

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