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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 5v

Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico.

v) y 2 9 - x 2 4 = 1

Passo 1

Neste problema, precisamos reduzir a equação à sua forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos reduzir a equação à sua forma canônica (forma padrão). Com essa equação reduzida em mãos, conseguiremos identificar a superfície e para encerrar, construiremos o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa... PARA TUDO! SE VOCÊ JÁ SABE TUDO SOBRE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS, PODE PULAR PARA O PASSO 3, AGORA SE VOCÊ QUISER DAR UMA LEVE RELEMBRADA, VEM COMIGO.

Vamos fazer um resuminho das nossas “temidas” superfícies quádricas, beleza? Mas, como são essas quádricas?? Como definimos??

Relaxa aí!! Vamos te explicar tudinho. 😉

Para analisar todos os tipos de quádricas, devemos partir da equação geral das quádricas que é:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j = 0

Para termos uma quádrica, um dos coeficientes a ,   b ,   c ,   d ,   e ou f devem ser diferentes de zero.

Assim, resumiremos numa tabela, a seguir, algumas quádricas especiais que são subconjuntos da expressão acima.

Show!!! Viram como elas não são tão “temidas”.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos. Agora vamos praticar! O bizu para encontrar qual é a superfície apresentada, é reescrever a equação dada no enunciado, de modo que ela se assemelhe a uma das equações da nossa tabela:

y 2 9 - x 2 4 = 1

Como podemos notar, essa equação não precisa ser simplificada ou reescrita, pois já se encontra num modelo que se assemelha à equação de uma superfície cilíndrica hiperbólica.

Passo 4

Logo, a superfície procurada é uma superfície cilíndrica hiperbólica, cujo gráfico é:

Resposta

Superfície cilíndrica hiperbólica

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Mostre que cada uma das equações representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação de uma curva geratriz. c) y 6 - x 2 - z 2 = 0
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cônica com vértice na origem O = (0, 0, 0) e determine a equação de uma curva diretriz. c) 8 y 4 - y z 3 = 0
Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0 e uma curva diretriz situada no plano z = c com equação f x , y = 0 é f x 0 + c - z 0 z - z 0 x - x 0 , y 0 +
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação de uma curva geratriz. a) x 2 + y 2 - z 3 = 0
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado. a) 9 x 2 + 4 y 2 = 36ez = 0 em torno do eixo y.