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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 12b

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).

(b) Γ : x = λ ,   y = λ 2 ,   z = λ 3     λ ∈ R .

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo coordenado, certo?

Seja a curva dada:

Γ : x = λ ,   y = λ 2 ,   z = λ 3 ⇒ Γ :   x 2 - y = 0 x 3 - z = 0

Passo 2

A reta x = 0 y = 0 z = z   tem o vetor diretor r → = 0 ,   0 ,   1 e escolheremos o ponto C = ( 0 ,   0 ,   0 ) . Por 26-11, temos:

z = λ                                                   x 2 + y 2 + z 2 = μ 2

Passo 3

Agora, por 26-12 e 26-13, podemos montar o seguinte sistema:

u 2 - v = 0                               u 3 - w = 0                               w = λ                                                     u 2 + v 2 + w 2 = μ 2 ⇒ u 2 = v                                               u 3 = w                                             w = λ                                                   u 2 + u 4 + λ 2 = μ 2 ⇒ u 2 = v                                             u = w 3                                         w = λ                                               u 2 + u 4 + λ 2 = μ 2

⇒ w 2 3 + w 4 3 + λ 2 = μ 2 ⇒ λ 2 3 + λ 4 3 + λ 2 = μ 2 ⇒ λ 2 3 + λ 4 3 + λ 2 - μ 2 = 0

Passo 4

Substituindo as variáveis originais determinadas acima por 26-11 na equação obtida com o sistema, temos:

λ 2 3 + λ 4 3 + λ 2 - μ 2 = 0

z 2 3 + z 4 3 + z 2 - ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0

x 2 + y 2 = z 2 3 + z 4 3

Portanto, encontramos a nossa equação livre de parâmetros:

x 2 + y 2 = z 2 3 + z 4 3

Resposta

x 2 + y 2 = z 2 3 + z 4 3

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