Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 5m

Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico.

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Passo 1

Neste problema, precisamos reduzir a equação à sua forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos reduzir a equação à sua forma canônica (forma padrão). Com essa equação reduzida em mãos, conseguiremos identificar a superfície e para encerrar, construiremos o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa... PARA TUDO! SE VOCÊ JÁ SABE TUDO SOBRE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS, PODE PULAR PARA O PASSO 3, AGORA SE VOCÊ QUISER DAR UMA LEVE RELEMBRADA, VEM COMIGO.

Vamos fazer um resuminho das nossas “temidas” superfícies quádricas, beleza? Mas, como são essas quádricas?? Como definimos??

Relaxa aí!! Vamos te explicar tudinho. 😉

Para analisar todos os tipos de quádricas, devemos partir da equação geral das quádricas que é:

Para termos uma quádrica, um dos coeficientes ou devem ser diferentes de zero.

Assim, resumiremos numa tabela, a seguir, algumas quádricas especiais que são subconjuntos da expressão acima.

Show!!! Viram como elas não são tão “temidas”.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos. Agora vamos praticar! O bizu para encontrar qual é a superfície apresentada, é reescrever a equação dada no enunciado, de modo que ela se assemelhe a uma das equações da nossa tabela:

Vamos isolar e depois dividir ambos os lados por 4 e, teremos:

Como podemos notar, essa equação encontrada se assemelha à equação de uma superfície cônica.

Passo 4

Logo, a superfície procurada é uma superfície cônica, cujo gráfico é:

Resposta

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Demonstre que existe apenas um plano tangente à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 que contém a reta x = 4 t + 4 , y = 3 t + 1 , z = t + 1 . Escreva sua equação.

Mostre que a interseção de um cone circular com plano que não passa pelo seu vértice e uma cônica seguindo os seguintes passos:a) considere dois sistemas de coordenadas R = O , i → , j → , k →e S = O

Determine a interseção da esfera x ² + y ² + z ² =8 ² ² ² com o conjunto C={ ( x ,y ,z )∈R ³;z= x 2 + y ²} ³ ² . Esboce geometricamente a situação

Complete os quadrados e decida para quais valores de k a equação x ²+y ²+z ²+x+2 y+3 z+k =0 ² ² ² define um ponto, uma esfera ou o conjunto vazio?

Com as notações do exercício anterior, dado o ponto P'=( x',y ',0 ) em Π x y , obtenha as coordenadas do ponto P=( x ,y ,z ) no qual a semi-reta N P ′ intersecta a esfera unitária S2 .