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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 13e

Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).

(e) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : ( x - 2 ) 2 + z - 1 2 = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

Pela observação 26.9, temos que:

f x , y 2 + z 2 = 0

Passo 2

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f x , z = ( x - 2 ) 2 + z - 1 2 - 1 = 0

⇒ f x , y 2 + z 2 = 0

                                            ⇒ ( x - 2 ) 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = 0

                                                                                                ⇒ x 2 - 2 2 + y 2 + z 2 - 2 y 2 + z 2 + 1 - 1 = 0

                                                                ⇒ x 2 - 2 2 + y 2 + z 2 - 2 y 2 + z 2 = 0

                                                ⇒ x 2 - 2 2 + y 2 + z 2 = 2 y 2 + z 2

Passo 3

Para facilitar a nossa visualização, vamos fazer uma ilustração da interseção entre o cilindro e o plano pedida, sendo esta uma cônica:

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O x é x 2 - 2 2 + y 2 + z 2 = 2 y 2 + z 2 .

Resposta

x 2 - 2 2 + y 2 + z 2 = 2 y 2 + z 2

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