Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(a) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : x 2 + z 2 = 1

Enunciado

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

A curva que queremos rotacionar é dada pela interseção . Vamos fazer a representação gráfica dela:

Vamos começar calculando a interseção:

A interseção acima é uma cônica, deve ser rotacionada em torno de . Comecemos escolhendo o ponto no eixo de rotação. As equações de um paralelo são:

Momento “bizu aí”.

Um ponto , pertence à interseção do paralelo com a curva se suas coordenadas satisfazem as relações abaixo:

Por fim, para facilitar a nossa visualização, vamos ilustrar a equação da esfera obtida na resolução acima do sistema:

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é a esfera de equação: .