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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 29a

Obtenha uma equação geral do plano que contém r e forma ângulo de θ radianos com π .

a) r : x = z + 1 = y + 2                                 π : x + 2 y - 3 z + 2 = 0                         θ = π 3

Passo 1

Vamos começar escrevendo equações planares para r , suas equações paramétricas são

r :   x = λ y = λ - 2 z = λ - 1

Substituindo x = λ nas outras duas equações, encontramos as equações planares de r :

x - y - 2 = 0 x - z - 1 = 0

Passo 2

O plano π 1 que queremos pertence ao feixe de planos que contém a reta r , ou seja:

α . x - y - 2 + β . x - z - 1 = 0

Agrupando os termos, temos que a equação genérica de π 1 é

x . α + β - y . α - z . β - 2 α - β = 0

Passo 3

Um vetor normal de π 1 é

n → 1 = ( α + β ,   - α ,   - β )

Enquanto um vetor normal de π é

n → = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

Então:

cos ⁡ 60 ° = α + β ,   - α ,   - β . 1 ,   2 ,   - 3 | | ( α + β ,   - α ,   - β ) | | . | | ( 1 ,   2 ,   - 3 ) | |

1 2 = α + β - 2 α + 3 β α + β 2 + α 2 + β ² . 1 + 4 + 9

1 2 = - α + 4 β 2 α β + 2 α 2 + 2 β ² . 14

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 4 = - α + 4 β 2 14 . ( 2 α β + 2 α 2 + 2 β 2 )

Resolvendo essa equação para α , encontramos α = - 3 β e α = β 2 .

Passo 4

Vamos substituir os α que encontramos na equação genérica de π 1 :

x . α + β - y . α - z . β - 2 α - β = 0

Para α = - 3 β

π 1 ' :   x . - 3 β + β - y . ( - 3 β ) - z . β - 2 . ( - 3 β ) - β = 0

π 1 ' :   x . - 2 β - y . - 3 β - z . β + 5 β = 0

Dividindo tudo por β :

π 1 ' :   - 2 x + 3 y - z + 5 = 0

Para α = β 2 :

π 1 ' ' :   x . β 2 + β - y . β 2 - z . β - 2 β 2 - β = 0

Dividindo tudo por β :

π 1 ' ' = 3 2 x - 1 2 y - z - 2 = 0

Multiplicando por 2:

π 1 ' ' = 3 x - y - 2 z - 4 = 0

Resposta

π 1 ' :   - 2 x + 3 y - z + 5 = 0

π 1 ' ' = 3 x - y - 2 z - 4 = 0

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