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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 1a

Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares.

r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ   1 ,   2 ,   1                                               s : X = 2 ,   4 ,   4 + λ   ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

O exercício forneceu a equação vetorial de duas retas e quer que vejamos se elas são ortogonais ou perpendiculares. Para isso, o primeiro passo é olhar para o vetor diretor de cada uma

u → = ( 1 ,   2 ,   1 )

v → = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Fazendo o produto escalar deles:

u → ⋅ v → = - 1 + 2 - 1 = 0

Como o produto escalar dos vetores diretores é nulo, as retas são ortogonais, mas elas podem ser ortogonais reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, daí elas serão perpendiculares.

Passo 2

Para verificar se elas são concorrentes ou não, vamos procurar um ponto de interseção. Os pontos da reta r são da forma

X = ( 1 + λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ )

Já na reta s , eles são da forma

X = ( 2 - μ ,   4 + μ ,   4 - μ )

Para que haja um ponto de encontro entre as retas:

1 + λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ = ( 2 - μ ,   4 + μ ,   4 - μ )

Assim,

1 + λ = 2 - μ 2 + 2 λ = 4 + μ 3 + λ = 4 - μ

Passo 3

Da primeira equação:

λ = 1 - μ

Substituindo na segunda:

2 + 2 1 - μ = 4 + μ ⇒ 2 + 2 - 2 μ = 4 + μ ⇒ 3 μ = 0 ⇒ μ = 0 ⇒ λ = 1

Mas não usamos a terceira equação ainda: temos que verificar se λ = 1 e μ = 0 satisfazem ela. De fato:

3 + 1 = 4 - 0 = 4

Assim, as retas se cruzam no ponto

( 2 ,   4 ,   4 )

Portanto, além de ortogonais, as retas são perpendiculares.

Resposta

Ortogonais e perpendiculares.

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